Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thiết chuyển vế liên hợp suy ra x=y
Thế xuống dưới là đc thôi
4.
Xét biểu thức : \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}=1^2+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+2\left(\frac{k-\left(k-1\right)-1}{k\left(k-1\right)}\right)=1^2+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+2\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k\left(k-1\right)}\right)=\left(1+\frac{1}{\left(k-1\right)}-\frac{1}{k}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}=\left|1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right|\)
Áp dụng : \(\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
...............................................................
\(\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}=1+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)
Cộng vế các đẳng thức trên được : \(B=2016-\frac{1}{2016}\)
ý thứ 2 là 8/7 chứ không phải 8/8 các bạn nhé. M đánh nhầm chữ
Ta chứng minh \(P\ge2\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}\ge2\sqrt{xy}\)
Thay \(2=x^2+y^2\) thì bđt trở thành \(x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}\ge\left(x^2+y^2\right)\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)+y^2\sqrt{y}\left(1-\sqrt{x}\right)\ge0\)
+TH1: \(\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\) thì VT = 0, bđt thỏa mãn
+TH2: \(x>1\)
bđt \(\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)\ge y^2\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-1\right)\text{ (*)}\)
Từ \(x>1\), ta có: \(y=\sqrt{2-x^2}< 1\)
\(\Rightarrow x>y\Rightarrow x^2\sqrt{x}>y^2\sqrt{y}>0\text{ (1)}\)
Cần chứng minh \(1-\sqrt{y}\ge\sqrt{x}-1>0\text{ (2)}\) là bđt sẽ được chứng minh
(2) \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}< 2\)
Thật vậy, ta có: \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\le2\)
Từ (1) và (2) suy ra (*) đúng.
+TH3: chứng minh tương tự TH2, chỉ đảo lại y và x.
Vậy \(P\ge2\). Dấu bằng đạt được tại x = y = 1.
\(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2}\right)+\left(x^3-y^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+2-y-2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+\left(x-y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)=0\)
⇒ x = y. Thay vào A
\(\Rightarrow A=x^2+2x^2-2x^2+2x+10\)
\(=\left(x+1\right)^2+9\ge9\)
Suy ra Min A = 9 ⇔ x = y = - 1
\(A=x^2+2xy-2y^2+2y+10\)
\(\Leftrightarrow A=x^2+2xy+y^2-3y^2+2y-\dfrac{1}{3}+\dfrac{31}{3}\)
\(\Leftrightarrow A=\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(3y^2-2y+\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{31}{3}\)
\(\Leftrightarrow A=\left(x+y\right)^2-3\left(y^2-\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{31}{3}\)
\(\Leftrightarrow A=\left(x+y\right)^2-3\left[y^2-2.y.\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\right]+\dfrac{31}{3}\)
\(\Leftrightarrow A=\left(x+y\right)^2-3\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{31}{3}\)
Vậy GTNN của \(A=\dfrac{31}{3}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\y-\dfrac{1}{3}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{3}=0\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)