Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
<=>4(x+y)=5
ta có:
\(S+5=\frac{4}{x}+4x+\frac{1}{4y}+4y\ge2\sqrt{\frac{4}{x}.4x}+2\sqrt{\frac{1}{4y}.4y}=2.4+2=10\)
\(\Rightarrow S\ge5\)
Vậy Min S=5 khi x=1;y=1/4
Dự đoán điểm rơi tại x = y = 2/3 ta sẽ làm như sau
\(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{9x}{4}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{9y}{4}+\frac{1}{y}\right)-\frac{5}{4}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{9x}{4x}}+2\sqrt{\frac{9y}{4y}}-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" tại x = y = 2/3
Cách khác là UCT (không hay như cách kia đâu=)
Ta sẽ chứng minh: \(x+\frac{1}{x}\ge-\frac{5}{4}x+3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-2\right)^2}{4x}\ge0\) (đúng)
Thiết lập tương tự BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge-\frac{5}{4}\left(x+y\right)+6\ge-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}+6=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi 3x - 2 = 3y - 2 = 0 tức là x = y = 2/3
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
\(A=\frac{1089}{400}x+\frac{1}{x}+\frac{1089}{400}y+\frac{1}{y}+\frac{1089z}{400}+\frac{1}{z}-\left(\frac{689}{400}x+\frac{689}{400}y+\frac{689}{400z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1089}{400}}+2\sqrt{\frac{1089}{400}}+2\sqrt{\frac{1089}{400}}-\frac{689}{400}\cdot\frac{20}{11}\)
= 1489/220
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y= z = 20/33
Theo đề ta suy ra \(y\le1-3x\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{x\left(1-3x\right)}\)
Ta có \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left(1-3x\right)}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+\left(1-3x\right)}{2}}=\frac{2}{2x}+\frac{2}{-2x+1}\)
\(=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{-2x+1}\right)\ge2.\frac{\left(1+1\right)^2}{2x-2x+1}=8\)
Vậy \(A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=1-3x=y\\\frac{1}{2x}=\frac{1}{-2x+1}\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{4}\)
Ta có:
\(\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y\Rightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(x-y\right)^2\)
đặt x+y=a và xy=b
\(\Rightarrow a^2=b\left(a^2-4b\right)\Rightarrow a^2=a^2b-4b^2\Rightarrow4b^2=a^2\left(b-1\right)\Rightarrow\frac{4b^2}{b-1}=a^2\)
Lại có:
\(\frac{b^2}{b-1}=\frac{b^2-1+1}{b-1}=b+1+\frac{1}{b-1}=b-1+\frac{1}{b-1}+2\ge2+2=4\)
\(\Rightarrow\frac{4b^2}{b-1}\ge16\Rightarrow a^2\ge16\Rightarrow a\ge4\Rightarrow x+y\ge4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=2+\sqrt{2},y=2-\sqrt{2}\)
Giá trị nhỏ nhất là 2
GTNN = 2 đạt khi x=y=1x=y=1