K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
OS
0
TH
2
NT
1
KN
29 tháng 7 2020
Đặt \(A=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(2A=x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(x+y+z\right)^2\)
\(=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{3}=12\Rightarrow A\ge6\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
NT
5
18 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y+z+xy+yz+zx\le\frac{x^2+1}{2}+\frac{y^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}+xy+yz+xz=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3}{2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3}{2}\)\(\Leftrightarrow6\le\frac{\left(x+y+z\right)^2+3}{2}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\ge12\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(3A=\left(1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3^2=9\)
\(\Leftrightarrow A\ge3\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(x=y=z=1\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
ta có
\(x^2+y^2+z^2\)\(=200\)
\(2xy-yz-zx=M\)
\(\Leftrightarrow M+200=x^2+y^2+z^2+2xy-yz-zx\)
\(\Leftrightarrow M+200=\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{z}{2}\right)^2+\frac{3}{4}z^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow M\ge-200\)