Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2y\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\left(2\right);\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được;
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)=2.2019=4038\)
\(\Rightarrow2P\ge4038\)
\(\Rightarrow P\ge2019\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 673
Vậy Pmin = 2019 khi x = y = z = 673
Chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\), Dấu "=" khi \(x=y=z\)
\(bdt\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\in R\)
Dấu "=" khi \(\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Áp dụng vào bài ta có:
\(A=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=12\)
Dấu "=' xảy ra khi \(\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+xz=12\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\pm2\)
Vậy \(Min_A=12\) khi \(x=y=z=\pm2\)
ta có : xy + yz +zx = 0
* yz = -xy-zx
\(\Rightarrow\)*xy = - yz - zx
*zx= -xy-yz
ta có : M = \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}+\frac{yz}{x}\)
M = \(\frac{-yz-zx}{z}+\frac{-xy-yz}{y}+\frac{-xy-zx}{x}\)
M = \(\frac{z\times\left(-y-x\right)}{z}+\frac{y\times\left(-x-z\right)}{y}+\frac{x\times\left(-y-z\right)}{x}\)
M = -y - x - x - z - y - z
M = -2y - 2x - 2z
M = -2( x+y+z )
mà x+y+z=-1
M = (-2) . (-1)
M =2
-cách này khá dài dòng _._ (ko nghĩ đc cách ngắn hơn >: )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x.\left(y+z\right)=yz\\-y.\left(x+z\right)=xz\\-z.\left(x+y\right)=xy\end{cases}}\)
thay vào biểu thức P, ta có:
\(P=\left[\frac{-z.\left(y+x\right)}{z^2}+\frac{-x.\left(y+z\right)}{x^2}+\frac{-y.\left(x+z\right)}{y^2}-2\right]^{2013}\)
\(P=\left[\frac{-\left(y+x\right)}{z}+\frac{-\left(y+z\right)}{x}+\frac{-\left(x+z\right)}{y}-2\right]^{2013}\)
\(P=\left(\frac{-x^2y-xy^2-zy^2-yz^2-zx^2-xz^2}{xyz}-\frac{2xyz}{xyz}\right)^{2013}\)
\(P=\left[\left(\frac{-x^2y-zx^2}{xyz}\right)+\left(\frac{-xy^2-zy^2}{xyz}\right)+\left(\frac{-z^2y-xz^2}{xyz}\right)\right]\)
\(\text{Ta có: }-x^2y-zx^2=-x^2.\left(y+z\right),\text{mà }-x.\left(y+z\right)=yz\Rightarrow-x^2.\left(y+z\right)=xyz\)
tương tự: \(-xy^2-zy^2=xyz\text{ và }-z^2y-z^2x=xyz\)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{3xyz-2xyz}{xyz}\right)^{2013}=1^{2013}=1\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0\Rightarrow x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\) (cách cm Câu hỏi của Arthur Conan Doyle - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath)
Vậy\(P=\left(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}-2\right)^{2013}=\left(\frac{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3}{x^2y^2z^2}-2\right)^{2013}=\left(3-2\right)^{2013}=1\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\Rightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=0\Rightarrow x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(N=\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\frac{3xyz}{xyz}=3\)