Question

[Quỳnh Anh]

Cho x, y, z thỏa mãn \(\dfrac{1}{3^x}+\dfrac{1}{3^y}+\dfrac{1}{3^z}=1\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+\dfrac{9^y}{3^y+3^{z+x}}+\dfrac{9^z}{3^z+3^{x+y}}\ge\dfrac{3^x+3^y+3^z}{4}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left(3^x;3^y;3^z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\ab+bc+ca=abc\end{matrix}\right.\)

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ab}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Thật vậy, ta có:

\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)

\(VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

Áp dụng AM-GM:

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)

Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, cộng vế với vế rồi rút gọn, ta sẽ có đpcm