Question

[Kiệt Nguyễn]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AC cắt BD ở E, AB cắt CD ở F. Các đường cao AA', DD' của tam giác EAD cắt nhau tại H, các đường cao BB', CC' của tam giác EBC tại K. Chứng minh F, H, K thẳng hàng.

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Ở dưới mình gửi hình nhưng không được, mình trình bày. Hình khó nhìn 1 chút

Gọi M,N là giao của 2 đường tròn \(\left(O_1\right),\left(O_2\right)\)có đường kình làn lượt là AB,CD

Tam giác FAD đồng dạng với tam giác FCB (gg)

\(\Rightarrow\frac{FA}{FC}=\frac{FD}{FB}\Rightarrow FA.FB=FC\cdot FD\)

FN cắt đường tròn \(\left(O_1\right);\left(O_2\right)\)lần lượt tại \(M_1;M_2\left(M_1;M_2\ne N\right)\) 

Cm tương tự có:

\(\hept{\begin{cases}FA\cdot FB=FM_1\cdot FN\\FC\cdot FB=FM_2\cdot FN\end{cases}}\)

Do \(FM_1=FM_2\)nên \(M_1=M_2\)

Vậy M₁;M₂ trùng nhau => F,M,N thẳng hàng (1)

Tam giác KC'B đồng dạng với tam giác KMB' 

\(\Rightarrow\frac{KC'}{KB'}=\frac{KB}{KC}\Rightarrow KC'\cdot KC=KB'\cdot KB\)

Tam giác KBN₁ đồng dạng với tam giác KMB' 

\(\Rightarrow\frac{KB}{KM}=\frac{KN_1}{KB'}\Rightarrow KN_1\cdot KM=KB\cdot KB'\)

Tương tự \(KN_2\cdot KM=KB\cdot KB'\)

Ta có KN₁=KN₂ => N₁ và N₂ trùng nhau

Vậy N; N₁;N₂ trùng nhau => K thuộc MN

Do vậy: H;K;M;N thẳng hàng (2)

Từ (1)(2) => K;F;M;N thẳng hàng

Vậy F;H;K thẳng hàng

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

Đây nhé!