Question

[Nguyễn Hảo]

Cho tứ diện S.ABC, ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB=a, SA vuông (ABC), SA=a

a)(SAB) vuông (SBC).

b)Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC).

c) Gọi I là trung điểm AB. Tính khoảng cách từ I đến (SBC).

d) Gọi J là trung điểm AC. Tính khoảng cách từ J đến (SBC)

e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách từ G đến(SBC)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(BC\in\left(SBC\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SAB\right)\)

b/ Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

c/ \(AI\) cắt (SBC) tại B, mà \(AB=2IB\)

\(\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=2d\left(I;\left(SBC\right)\right)\Rightarrow d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

d/ I là trung điểm AB, J là trung điểm AC

\(\Rightarrow\) IJ là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow IJ//BC\Rightarrow IJ//\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow d\left(J;\left(SBC\right)\right)=d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

e/ \(GC=\frac{2}{3}IC\) theo tính chất trọng tâm

Mà IG cắt (SBC) tại C \(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\frac{2}{3}d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{6}\)