Question

[Nguyễn Bá Hải]

Cho tam giác ABD có ∠B = 2 ∠D, kẻ AH\(\perp\) BD (H\(\in\)BD). Trên tia đối của tia BA lấy BE = BH. Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh: FH = FA = FD.

Answer 1

[Hoàng Hà Nhi]

\(\Delta BHE\) có: \(BE=BH\) nên \(\Delta BHE\) cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{E}\) (*)

\(\widehat{ABD}\) là góc ngoài của \(\Delta BHE\) nên \(\widehat{ABD}=\widehat{H_1}+\widehat{E}\)

Từ (*) suy ra: \(\widehat{E}=\widehat{H_1}=\widehat{\dfrac{ABD}{2}}\Rightarrow\widehat{H_1}.2=\widehat{ABD}\)

Mà \(\widehat{ABD}=2.\widehat{D}\) nên \(\widehat{D}=\widehat{H_1}\)

Vì \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat{H_2}=\widehat{D}\)

\(\Rightarrow\Delta HDF\) cân tại F

\(\Rightarrow FH=FD\left(1\right)\)
Lại có: \(\widehat{A_1}=\widehat{H_3}\) (cùng phụ 2 góc bằng nhau là \(\widehat{H_2}\) và \(\widehat{D}\) )

\(\Rightarrow\Delta AFH\) cân tại F

\(\Rightarrow FA=FH\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)và\left(2\right)\) ta suy ra: \(FH=FA=FD\)

Answer 2

[Makoto Kino]

giỏi quá