Question

[khanh huyen]

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M và N là
chân đường vuông góc của H trên AB, AC. Gọi E là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng AE vuông góc với MN

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Gọi $D$ là giao điểm $MN, AE$

Vì $AE$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AE=\frac{BC}{2}=EC$

$\Rightarrow EAC$ cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{DAN}=\widehat{EAC}=\widehat{ECA}=\widehat{HCA}$

Mặt khác:

Dễ thấy $AMHN$ là hình chữ nhật (do có 3 góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{DNA}=\widehat{INA}=\widehat{IAN}=\widehat{HAC}$

Do đó:

$\widehat{DAN}+\widehat{DNA}=\widehat{HCA}+\widehat{HAC}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{ADN}=90^0$

$\Rightarrow AE\perp MN$

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: