Question

[Song Thiên Đỗ]

Cho tam giác ABC vuông tại A có ( AB < AC). Phân giác góc BAC cắt đường trung trực cạnh BC ở điểm D. Kẻ DH vuông góc AB và DK vuông góc AC.

            1. Tứ giác AHDK là hình gì ? Chứng minh.

            2. Chứng minh BH = CK.

            3. Giả sử AC = 8cm và BC = 10 cm. Gọi M là trung điểm BC. Tính diện tích của tứ giác BHDM.

Answer 1

[Huy Hoang]

a, Ta có : \(DH\perp AB , DK\perp AC , AB\perp AC\rightarrow AHDK\)là hình chữ nhật

Mà AD là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\) ---> AHDK là hình vuông

b, Vì D là trên đường trung trực của BC

=> DB = DC

Mà AD là tia phân giác \(\widehat{BAC} , DH\perp AB,DK\perp AC\Rightarrow DH=DK\)

\(\Rightarrow BH=\sqrt{DB^2-DH^2}=\sqrt{DC^2-DK^2}=CK\)

c, Ta có : \(BC=10 , AC=8\Rightarrow AB=\sqrt{CB^2-AC^2}=6\)

\(\Rightarrow DM=BM=MC=\frac{1}{2}BC=5\)

Gọi AD ∩ BC = E

\(\Rightarrow\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{EB}{EB+EC}=\frac{3}{3+4}\Rightarrow\frac{EB}{EC}=\frac{3}{7}\Rightarrow BE=\frac{30}{7}\Rightarrow CE=\frac{40}{7}\)

\(\Rightarrow ME=\frac{5}{7}\Rightarrow DE=\frac{24\sqrt{2}}{7}\)

Ta lại có : AE là phân giác \(\widehat{A}\)

\(\Rightarrow AE^2=AB.AC-BE.EC\Rightarrow AE=\frac{24\sqrt{2}}{7}\)

\(\Rightarrow AD=7\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow DH=AH=\frac{AD}{\sqrt{2}}=7\)

\(\Rightarrow BH=AH-AB=1\Rightarrow S_{DBH}+S_{BDM}=\frac{1}{2}DH.BH+\frac{1}{2}DM.BM=16\)