Question

[Nguyễn Hồng Nhung]

Cho tam giác ABC vuông tại A. AH vuông với BC (H thuộc BC)

Vẽ điểm M sao cho AB là đường trung trực của MH, MH cắt AB tại I

Vẽ điểm N sao cho AC la đường trung trực của NH, NH cắt AC tại K

a) CMR:A là trung điểm của MN

b) CMR:BM//CN

c) CMR:KI//MN

Answer 1

[Thu Thao]

Bạn học tính chất đường trung trực rồi chứ nhỉ?

a/ Có AB là đường trung trực của MH 

=> AM = AH (1)

=> t/g AMH cân tại A có AB là đường trung trực của MH

=> AB đồng thời là đường pg t/g AMH

=> \(\widehat{MAB}=\widehat{BAH}\left(\cdot\right)\)

CMTT : AN = AH (2) ; \(\widehat{NAC}=\widehat{BAC}\left(\cdot\cdot\right)\)

Từ \(\left(\cdot\right);\left(\cdot\cdot\right)\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{NAC}=\widehat{MAN}=180^o\)

Từ (1) ; (2)=> AM = ANDo đó A là trung điểmMN

b/ t/g ABM = t/g ABH (Tự xét) ..

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{ABC}\)

CMTT : \(\widehat{ACN}=\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{ABM}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=2\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)\)

=> \(\widehat{MBC}+\widehat{NCB}=180^o\)

Mà 2 góc này tcp

=> BM //CN

b/ t/g CHN cân tại C có CA là đường trung trực ; CA cắt HN tại K

=> K là trung điểm HN

=> HK = NK

Có 

IH ⊥ AB

AB ⊥ AC

=> IH // AC=> ^HIK = ^IKAt/g IAK = t/g KHI (ch-gn) 

=> IA = KH = KN

=> t/g IAK = t/g NKA (c.g.c)

=> ^AKI = ^KAN

Mà 2 góc này slt

=> KI // MN

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Ta có: AC là đường trung trực của NH(gt)

nên AC vuông góc với NH tại trung điểm của NH

mà AC cắt NH tại K(gt)

nên K là trung điểm của NH và \(AC\perp NH\) tại K

Xét ΔANH có 

AK là đường cao ứng với cạnh NH(\(AC\perp NH\) tại K)

AK là đường trung tuyến ứng với cạnh NH(K là trung điểm của NH)

Do đó: ΔANH cân tại A(Định lí tam giác cân)

Ta có: AB là đường trung trực của HM(gt)

nên AB vuông góc với HM tại trung điểm của HM

mà AB cắt HM tại I(gt)

nên I là trung điểm của HM và AB\(\perp\)HM tại I

Xét ΔAHM có 

AI là đường cao ứng với cạnh HM(AB\(\perp\)HM tại I)

AI là đường trung tuyến ứng với cạnh HM(I là trung điểm của HM)

Do đó: ΔAHM cân tại A(Định lí tam giác cân)

Ta có: ΔANH cân tại A(cmt)

mà AK là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy NH(K là trung điểm của NH)

nên AK là đường phân giác ứng với cạnh NH

hay \(\widehat{NAC}=\widehat{HAC}\)

Ta có: ΔAHM cân tại A(cmt)

mà AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy HM(I là trung điểm của HM)

nên AI là đường phân giác ứng với cạnh HM(Định lí tam giác cân)

hay \(\widehat{HAB}=\widehat{MAB}\)

Ta có: \(\widehat{CAH}+\widehat{BAH}=\widehat{BAC}\)(tia AH nằm giữa hai tia AB,AC)

nên \(\widehat{CAH}+\widehat{BAH}=90^0\)

Ta có: \(\widehat{NAC}+\widehat{HAC}+\widehat{HAB}+\widehat{MAB}=\widehat{NAM}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{NAM}=2\cdot\widehat{HAC}+2\cdot\widehat{HAB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{NAM}=2\cdot\left(\widehat{CAH}+\widehat{BAH}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{NAM}=2\cdot90^0=180^0\)

hay N,A,M thẳng hàng(1)

Ta có: ΔANH cân tại A(cmt)

nên AN=AH(2)

Ta có: ΔAHM cân tại A(cmt)

nên AM=AH(3)

Từ (2) và (3) suy ra AN=AM(4)

Từ (1) và (4) suy ra A là trung điểm của MN(đpcm)