Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C N M E F G H I K
a) Kéo dài các tia AN; AE; AM; AF cho chúng cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại các điểm G;H;I;K.
Xét \(\Delta\)ABI có: BM là phân giác ^ABI và BM vuông góc AI (tại M) => \(\Delta\)ABI cân tại B
=> BM đồng thời là đường trung tuyến \(\Delta\)ABI => M là trung điểm AI
C/m tương tự, ta có: N;E;F lần lượt là trung điểm của AG;AH;AK
Xét \(\Delta\)GAH: N là trung điểm AG; E là trung điểm AH => NE là đường trung bình \(\Delta\)GAH
=> NE // GH hay NE // BC (1)
Tương tự: MF // BC (2); NF // BC (3)
Từ (1); (2) và (3) => 4 điểm M;N;E;F thẳng hàng (Theo tiên đề Ơ-clit) (đpcm).
b) Theo câu a ta có: NF là đường trung bình \(\Delta\)AGK => \(NF=\frac{GK}{2}=\frac{BG+BC+CK}{2}\)(*)
Lại có: \(\Delta\)ABG cân ở B; \(\Delta\)ACK cân ở C (câu a) nên BG = AB; CK = AC
Thế vào (*) thì được: \(NF=\frac{AB+BC+AC}{2}\),
KL: ...
A M N E B C F P Q
a/ Vì BM và CQ lần lượt là tia phân giác ngoài của các tia phân giác trong góc B,C nên góc MBN = góc PCQ = 90 độ
Xét tam giác AEN và tam giác BEM có AE = EB ; góc BEM = góc AEN (đối đỉnh) , góc MBE = góc EAN (cùng phụ góc ABN)
=> Tam giác AEN = tam giác BEM (c.g.c) => EM = EN
Suy ra AMBN là hình bình hành vì tứ giác này có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà có một góc bằng 90 độ => AMBN là hình chữ nhật
Chứng minh tương tự với tứ giác APCQ
b/ Dễ dàng chứng minh được EF là đường trung bình tam giác ABC => EF // BC (1)
Vì AMBN là hình chữ nhật mà E là giao điểm của hai đường chéo nên M,E,N thẳng hàng (2)
Tương tự APCQ là hình chữ nhật nên P,F,Q thẳng hàng (3)
Theo tính chất hình chữ nhật thì góc ENB góc EBN = góc NBC => MN // BC (4)
Tương tự, ta có PQ // BC (5)
Từ (1) , (2) , (3) , (4) , (5) suy ra M,N,P,Q,E,F thẳng hàng. (Áp dụng tiên đề Ơ-clit)
?o?n th?ng c: ?o?n th?ng [A, B] c?a H�nh tam gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng a: ?o?n th?ng [B, C] c?a H�nh tam gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng b: ?o?n th?ng [C, A] c?a H�nh tam gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng n: ?o?n th?ng [B, M] ?o?n th?ng p: ?o?n th?ng [A, M] ?o?n th?ng q: ?o?n th?ng [A, N] ?o?n th?ng r: ?o?n th?ng [B, N] ?o?n th?ng s: ?o?n th?ng [C, Q] ?o?n th?ng t: ?o?n th?ng [A, Q] ?o?n th?ng d: ?o?n th?ng [A, P] ?o?n th?ng e: ?o?n th?ng [C, P] ?o?n th?ng f_1: ?o?n th?ng [N, Q] A = (0.19, 4.72) A = (0.19, 4.72) A = (0.19, 4.72) B = (-1.7, 0.64) B = (-1.7, 0.64) B = (-1.7, 0.64) C = (5.14, 0.68) C = (5.14, 0.68) C = (5.14, 0.68) ?i?m M: Giao ?i?m c?a g, j ?i?m M: Giao ?i?m c?a g, j ?i?m M: Giao ?i?m c?a g, j ?i?m N: Giao ?i?m c?a f, k ?i?m N: Giao ?i?m c?a f, k ?i?m N: Giao ?i?m c?a f, k ?i?m P: Giao ?i?m c?a i, l ?i?m P: Giao ?i?m c?a i, l ?i?m P: Giao ?i?m c?a i, l ?i?m Q: Giao ?i?m c?a h, m ?i?m Q: Giao ?i?m c?a h, m ?i?m Q: Giao ?i?m c?a h, m ?i?m E: Trung ?i?m c?a c ?i?m E: Trung ?i?m c?a c ?i?m E: Trung ?i?m c?a c ?i?m F: Trung ?i?m c?a b ?i?m F: Trung ?i?m c?a b ?i?m F: Trung ?i?m c?a b
a. Do hai đường phân giác trong và ngoài của góc B vuông góc với nhau nên AMBN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông)
Tương tự ACPQ cũng là hình chữ nhật.
b. Do câu a, AMBN là hình chữ nhật nên MN và BA cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vì thế M, N, E thẳng hàng. Tương tự P, F,Q thẳng hàng.
Do BM là phân giác góc B nên \(\widehat{MBC}=\widehat{PMB}\left(=\widehat{EBM}\right)\). Vậy EM // BC. Dễ thấy EF // BC nên E, M, F thẳng hàng.
Tương tự Q, P ,E thẳng hàng.
Vậy M, N, P, Q, E, F thẳng hàng.
Bài 12:
:v Mình sửa P là trung điểm của EG
A B C D E O Q N F G M I 1 2 P
a) Ta có: \(\widehat{EAC}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)
\(\widehat{GAB}=\widehat{GAC}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\)
Xét tam giác EAC và tam giác BAG có:
\(\hept{\begin{cases}EA=AB\\\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\left(cmt\right)\\AG=AC\end{cases}}\Rightarrow\Delta EAC=\Delta BAG\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow CE=BG\)( 2 cạnh t. ứng )
+) Gọi O là giao điểm của EC và BG, Gọi I là giao điểm của AC và BG
Vì \(\Delta EAC=\Delta BAG\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\)
Vì tam giác AIG vuông tại A nên \(\widehat{I1}+\widehat{AGB}=90^0\)(2 góc phụ nhau )
Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\left(cmt\right),\widehat{I1}=\widehat{I2}\)( 2 góc đối đỉnh )
\(\Rightarrow\widehat{I2}+\widehat{ACE}=90^0\)
Xét tam giác OIC có \(\widehat{I2}+\widehat{ACE}+\widehat{IOC}=180^0\left(dl\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{IOC}=90^0\)
\(\Rightarrow BG\perp EC\)
b) Vì ABDE là hình vuông (gt)
\(\Rightarrow EB\)cắt AD tại Q là trung điểm của mỗi đường (tc)
Xét tam giác EBC có Q là trung điểm của EB (cmt) , M là trung điểm của BC (gt)
\(\Rightarrow QM\)là đường trung bình của tam giác EBC
\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}EC\left(tc\right)\)
CMTT: \(PN=\frac{1}{2}EC;QP=\frac{1}{2}BG,MN=\frac{1}{2}BG\)
Mà EC=BG (cm câu a )
\(\Rightarrow QM=MN=NP=PQ\)
Xét tứ giác MNPQ có \(QM=MN=NP=PQ\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MNPQ\)là hình thoi ( dhnb ) (1)
CM: MN//BG , QM//EC ( dựa vào đường trung bình tam giác )
Mà \(BG\perp EC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MN\perp MQ\)
\(\Rightarrow\widehat{QMN}=90^0\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MNPQ\) là hình vuông ( dhnb )
\(\)
Bài 11:
A B C H D P E Q
a) Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=180^0\)
\(\Rightarrow D,A,E\)thẳng hàng
b) Vì AHBD là hình chữ nhật (gt)
\(\Rightarrow AB\)cắt DH tại trung điểm mỗi đường (tc) và AB=DH(tc)
Mà P là trung điểm của AB (gt)
\(\Rightarrow P\)là trung điểm của DH (1)
\(\Rightarrow PH=\frac{1}{2}DH,PA=\frac{1}{2}AB\)kết hợp với AB=DH (cmt)
\(\Rightarrow PH=PA\)
\(\Rightarrow P\in\)đường trung trục của AH
CMTT Q thuộc đường trung trực của AH
\(\Rightarrow PQ\)là đường trung trực của AH
c) Từ (1) => P thuộc DH
=> D,P,H thẳng hàng
d) Vì ABCD là hình chữ nhật (gt)
=> DH là đường phân giác của góc BHA (tc) mà góc BHA= 90 độ
=> góc DHA= 45 độ
CMTT AHE =45 độ
=> góc DHA+ góc AHE=90 độ
Hay góc DHE=90 độ
=> DH vuông góc với HE
a. Vì BQ và BP là p/g ngoài và trong của \(\widehat{ABC}\) nên \(BP\bot BQ\)
Lại có \(AQ\bot BQ, AP\bot BP\) nên AQPB là hcn
Cmtt ta được AMCN cũng là hcn
b. Gọi I là giao 2 đường chéo AB và PQ của hcn AQBP
\(\Rightarrow IB=IA=IC\\ \Rightarrow\widehat{IPB}=\widehat{IBP}=\widehat{PBC}\left(BP\text{ là p/g}\right)\)
Mà 2 góc này ở vị trí slt nên IP//BC
\(\Rightarrow P,Q\) nằm trên đtb của \(\Delta ABC\)
Tương tự M,N cũng nằm trên đtb \(\Delta ABC\)
Vậy M,N,Q,P thẳng hàng
em cảm ơn nhiều ạ