Question

[Sắc màu]

Cho tam giác ABC, gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên đường phân giác trong và ngoài của góc B

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên đường phân giác trong và ngoài của góc C.

a ) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, E, F thẳng hàng.

b ) Tính độ dài đoạn NF theo các cạnh của tam giác ABC 

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Kéo dài các tia AN; AE; AM; AF cho chúng cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại các điểm G;H;I;K.

Xét \(\Delta\)ABI có: BM  là phân giác ^ABI và BM vuông góc AI (tại M) => \(\Delta\)ABI cân tại B

=> BM đồng thời là đường trung tuyến \(\Delta\)ABI => M là trung điểm AI

C/m tương tự, ta có: N;E;F lần lượt là trung điểm của AG;AH;AK

Xét \(\Delta\)GAH: N là trung điểm AG; E là trung điểm AH => NE là đường trung bình \(\Delta\)GAH

=> NE // GH hay NE // BC (1)

Tương tự: MF // BC (2);  NF // BC (3)

Từ (1); (2) và (3) => 4 điểm M;N;E;F thẳng hàng (Theo tiên đề Ơ-clit) (đpcm).

b) Theo câu a ta có: NF là đường trung bình \(\Delta\)AGK => \(NF=\frac{GK}{2}=\frac{BG+BC+CK}{2}\)(*)

Lại có: \(\Delta\)ABG cân ở B; \(\Delta\)ACK cân ở C (câu a) nên BG = AB; CK = AC

Thế vào (*) thì được: \(NF=\frac{AB+BC+AC}{2}\),

KL: ...