Question

[Cao Hà Phương]

Cho tam giác ABC có góc C = 45⁰, AB*AC=\(32\sqrt{6}\), \(\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{3}\). Tính số đo cạnh BC, góc B và S_ABC

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

A B C x y z K

Đặt AB = x>0 , AC = y>0 , BC = z>0

• Theo đề bài , ta có : \(\begin{cases}xy=32\sqrt{6}\\\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{6}}{3}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=8\\y=4\sqrt{6}\end{cases}\)

Theo định lí Cosin, ta có : \(x^2=y^2+z^2-2yz.cos45^o\Leftrightarrow64=96+z^2-8\sqrt{3}z\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z=4+4\sqrt{3}\\z=-4+4\sqrt{3}\end{array}\right.\)

Vậy BC = \(4+4\sqrt{3}\) hoặc BC = \(4\sqrt{3}-4\)

• Theo định lí Cosin, ta có : \(y^2=x^2+z^2-2xz.cosB\Rightarrow cosB=\frac{x^2+z^2-y^2}{2xz}\)

+Với \(\begin{cases}x=8\\y=4\sqrt{6}\\z=4+4\sqrt{3}\end{cases}\) thì \(cosB=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{B}=60^o\)

+Với \(\begin{cases}x=8\\y=4\sqrt{6}\\z=4\sqrt{3}-4\end{cases}\) thì \(cosB=-\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{B}=120^o\)

• Để tính diện tích tam giác ABC, ta áp dụng công thức \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC.AC.sinC\)

Chứng minh như sau : Kẻ đường cao AK (K thuộc BC)

Trong tam giác vuông AKC có : \(AK=sinC.AC\)

Ta có :  \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC.AK=\frac{1}{2}BC.AC.SinC\)

+Với \(\begin{cases}x=8\\y=4\sqrt{6}\\z=4+4\sqrt{3}\end{cases}\) thì  \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.sin45^o=\frac{1}{2\sqrt{2}}.4\sqrt{6}.\left(4+4\sqrt{3}\right)=24+8\sqrt{3}\)

+Với \(\begin{cases}x=8\\y=4\sqrt{6}\\z=4\sqrt{3}-4\end{cases}\) thì \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.sin45^o=\frac{1}{2\sqrt{2}}.4\sqrt{6}.\left(-4+4\sqrt{3}\right)=24-8\sqrt{3}\)