Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Kẻ \(BE\perp AC(E\in AC)\)
Khi đó \(\sin A=\frac{BE}{c}\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{ac}{BE}\)
Mặt khác, \(S_{ABC}=\frac{BE.b}{2}\Rightarrow BE=\frac{2S_{ABC}}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\). Hoàn toàn tương tự với \(\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}\) ta có:
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\) (đpcm)
Gọi O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của BC, ta có:
\(OD\perp BC\)
\(OB=R;BD=\dfrac{1}{2}a\)
\(\widehat{BOD}=\widehat{A}\) (A là góc nội tiếp chắn cung BC, Ở là góc tâm chắn \(\dfrac{1}{2}\) cung BC)
Trong tam giác vuông DOB ta có:
\(sin\left(DOB\right)=\dfrac{BD}{OB}\)
\(\Rightarrow sinA=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{R}\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=2R\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)
Lời giải:
\(\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}=\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(b-c)}{b+c}+\frac{b(c-a)}{c+a}+\frac{c(a-b)}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(b-c)}{b+c}-\frac{b(b-c+a-b)}{c+a}+\frac{c(a-b)}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(b-c)}{b+c}-\frac{b(b-c)}{c+a}-\frac{b(a-b)}{c+a}+\frac{c(a-b)}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow (b-c)\left(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a}\right)-(a-b)\left(\frac{b}{c+a}-\frac{c}{a+b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (b-c).\frac{(a-b)(a+b+c)}{(b+c)(c+a)}-(a-b).\frac{(b-c)(b+c+a)}{(c+a)(a+b)}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a-b)(b-c)\left(\frac{1}{(b+c)(c+a)}-\frac{1}{(c+a)(a+b)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a-b)(b-c).\frac{a-c}{(a+b)(b+c)(c+a)}=0\)
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên \(\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\neq 0\)
Do đó: \((a-b)(b-c)(a-c)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=b\\ b=c\\ c=a\end{matrix}\right.\)
Suy ra tam giác $ABC$ cân
Ta có đpcm.
A B C c H b a h
kẻ AH vuông góc với BC
đặt AH = h . xét hai tam giác vuông AHB và AHC , ta có :
sin B = \(\frac{AH}{AB}\), sin C = \(\frac{AH}{AC}\)
do đó \(\frac{sinB}{sinC}=\frac{AH}{AB}\cdot\frac{AC}{AH}=\frac{h}{c}\cdot\frac{b}{h}=\frac{b}{c}\)
suy ra \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
tương tự \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)
vậy suy ra dpcm
cái đường thẳng cắt tam giác đó mk không bt nó thừ đâu tới, bạn bỏ cái đấy đi nhá
a) \(1+tan^2B=1+\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2}=\dfrac{1}{cos^2B}\)
b) Ta có: \(a.sinB.cosB=BC.\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{AH.BC}{BC}=AH\)
\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=BC.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=BC.cos^2B\)
Tương tự \(\Rightarrow CH=BC.sin^2B\)
gọi D là tiếp điểm của đường tròn (K) trên BC . ta có DB = BE ; CD = CF (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow\) AE = AB + BE = c + BD
AF = AC + CF = b + CD
\(\Rightarrow\) AE + AF = b + c + (BD + CD)
= a + b + c
ta lại có AE = AF (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow\) AE = AF = \(\dfrac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
b) BE = AE - AB = \(\dfrac{a+b+c}{2}\) - c = \(\dfrac{a+b-c}{2}\) (đpcm)
c) CF = AF - AC = \(\dfrac{a+b+c}{2}\) -b = \(\dfrac{a+c-b}{2}\) (đpcm)
