Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\left(x^2-2\right)\left(k-1\right)x+2k-5=0\)
\(\Delta=\left(k-1\right)^2-2k+5\)
\(=k^2-4x+6=\left(k-2\right)^2+2>0\)
=> PT luôn có nghiệm với mọi k
a) Các hệ số a,b,c lần lượt là
\(a=1\); \(b=-\left(m+2\right)\); c=2m
Ta có △=\(b^2-4ac=\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4.1.2m=m^2+4m+4-8m=m^2-4m+4\)
b) Để phương trình có nghiệm kép thì △=0\(\Leftrightarrow m^2-4m+4=0\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=0\Leftrightarrow m-2=0\Leftrightarrow m=2\)
c) Ta có △=\(m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\Rightarrow\)phương trình luôn có 2 nghiệm x1,x2
Theo định lí Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{m+2}{1}=m+2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2m}{1}=2m\end{matrix}\right.\)
Ta lại có \(x_1^2+x_2^2=20\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=20\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2.2m=20\Leftrightarrow m^2+4m+4-4m=20\Leftrightarrow m^2+4=20\Leftrightarrow m^2=16\Leftrightarrow m=\pm4\)
Vậy \(m=\pm4\) thì phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=20\)
a)\(a=1;b=-\left(m+2\right);c=2m\)
\(\Delta=\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot2m=m^2+4m+4-8m\)
\(\Delta=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)
b) Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)
\(\left(m-2\right)^2=0\Rightarrow m-2=0\Rightarrow m=2\)
Thế \(m=2\) vào phương trình \(x^2-\left(m+2\right)x+2m=0\), ta được:
\(x^2-\left(2+2\right)x+2\cdot2=0\)
\(x^2-4x+4=0\)
\(\left(x-2\right)^2=0\)
\(x-2=0\Rightarrow x=2\)
c) Theo hệ thức viet:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{m+2}{1}=m+2\)
\(x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2m}{1}=2m\)
\(x_1^2+x_2^2=20\)
\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\)
\(\left(m+2\right)^2-2\cdot2m=20\)
\(m^2+4m+4-4m=20\)
\(m^2-16=0\)
\(\left(m+4\right)\left(m-4\right)=0\)
\(m=\pm4\)
a) Phương trình đã cho có \(\Delta'=36-6a+a^2=a^2-6a+9+27=\left(a-3\right)^3+27>0\) nên có 2 nghiệm phân biệt với mọi a
b) Theo hệ thức Vi-et ta có \(x_1+x_2=6\Leftrightarrow x_2=6-x_1\)
Ta có \(x_2=x_1^3-8x_1\Leftrightarrow x_1^3-8x_1=6-x_1\Leftrightarrow x_1^3-7x_1-6=0\)
\(\Leftrightarrow x_1^3-x_1-6x_1-6=0\Leftrightarrow x_1\left(x_1-1\right)\left(x_1+1\right)-6\left(x_1+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_1^2-x_1-6\right)=0\Leftrightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_1^2+2x_1-3x_1-6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+1\right)\left[x_1\left(x_1+2\right)-3\left(x_1+2\right)\right]=0\Leftrightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_1+2\right)\left(x_1-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x_1\in\left\{-1;-2;3\right\}\)
*) \(x_1=-1\Leftrightarrow\left(-1\right)^2-6\left(-1\right)+6a-a^2=0\Leftrightarrow a^2-6a-7=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-1\\a=7\end{cases}}\)
*) \(x_1=-2\Leftrightarrow\left(-2\right)^2-6\left(-2\right)+6a-a^2=0\Leftrightarrow a^2-6a-16=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-2\\a=8\end{cases}}\)
*) \(x_1=3\Leftrightarrow3^2-6\cdot3+6a-a^2=0\Leftrightarrow a^2-6a+9=0\Leftrightarrow a=3\)
Vậy \(a=\left\{-1;-2;3;7;8\right\}\)
Điều kiên có nghiệm của phương trình : \(\Delta'=9-m\ge0\Leftrightarrow m\le9\)
Theo hệ thức Vi-et , ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=6\\x_1.x_2=m\end{cases}\)
Biến đổi : \(\left(x_1^2+1\right)\left(x_2^2+1\right)=36\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1.x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2-35=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+36-2m-35=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=0\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn)
Vậy m = 1 thỏa mãn đề bài.
Anh Phuong
Bạn bấm mode-5-3 để tìm min trong trường hợp này ko áp dụng được, vì nếu phân tích theo mode 5-3 \(2k^2+4k-3=2\left(k+1\right)^2-5\ge-5\) thì dấu "=" xảy ra khi \(k=-1\) ko thỏa mãn điều kiện delta \(k\ge\frac{7}{4}\)
Theo lý thuyết hàm bậc 2 thì \(2k^2+4k-2\) đồng biến khi \(k\ge-1\) nghĩa là với \(k\ge\frac{7}{4}\) thì chắc chắn A min sẽ xảy ra khi \(k=\frac{7}{4}\)
Thay \(k=\frac{7}{4}\) vào tính được \(A=\frac{81}{8}\)
Do đó ta thêm bớt: \(A=\left(2k^2+4k-\frac{105}{8}\right)+\frac{81}{8}\)
Và bây giờ chỉ việc phân tích ngoặc đầu thành nhân tử bằng máy tính dễ dàng, máy tính cho 2 nghiệm \(\frac{7}{4};-\frac{15}{4}\), do đó:
\(A=2\left(k-\frac{7}{4}\right)\left(k+\frac{15}{4}\right)+\frac{81}{8}\)
Do \(k\ge\frac{7}{4}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k-\frac{7}{4}\ge0\\k+\frac{15}{4}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\left(k-\frac{7}{4}\right)\left(k+\frac{15}{4}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge0+\frac{81}{8}=\frac{81}{8}\)
Khi có điều kiện delta, thì luôn phải chú ý điểm rơi xem có thỏa mãn điều kiện hay ko, nếu không thì phải tìm cách tách riêng như trong bài này, nếu ko kết quả sẽ sai hết.
\(\Delta=4k^2+4k+1-4k^2-8=4k-7\ge0\Rightarrow k\ge\frac{7}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2k+1\\x_1x_2=k^2+2\end{matrix}\right.\)
a/ Kết hợp Viet và đề bài ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2k+1\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{2\left(2k+1\right)}{3}\\x_2=\frac{2k+1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{2\left(2k+1\right)}{3}.\frac{\left(2k+1\right)}{3}=k^2+2\Leftrightarrow2\left(2k+1\right)^2=9\left(k^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow k^2-8k+16=0\Rightarrow k=4\)
b/ \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(2k+1\right)^2-2\left(k^2+2\right)=2k^2+4k-3\)
\(=2\left(k-\frac{7}{4}\right)\left(k+\frac{15}{4}\right)+\frac{81}{8}\ge\frac{81}{8}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{81}{8}\) khi \(k=\frac{7}{4}\)