Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đường tròn c: Đường tròn qua B với tâm O Đường tròn d: Đường tròn qua H với tâm M Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [M, H] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [B, D] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [C, M] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [D, M] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [C, K] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [A, K] O = (0.44, 3.54) O = (0.44, 3.54) O = (0.44, 3.54) B = (3.96, 3.56) B = (3.96, 3.56) B = (3.96, 3.56) Điểm A: Giao điểm của c, f Điểm A: Giao điểm của c, f Điểm A: Giao điểm của c, f Điểm M: Điểm trên c Điểm M: Điểm trên c Điểm M: Điểm trên c Điểm H: Giao điểm của h, g Điểm H: Giao điểm của h, g Điểm H: Giao điểm của h, g Điểm C: Giao điểm của d, k_1 Điểm C: Giao điểm của d, k_1 Điểm C: Giao điểm của d, k_1 Điểm D: Giao điểm của d, l Điểm D: Giao điểm của d, l Điểm D: Giao điểm của d, l Điểm K: Giao điểm của s, t Điểm K: Giao điểm của s, t Điểm K: Giao điểm của s, t
a) Ta thấy do AC, AH là tiếp tuyến qua A của đường tròn tâm M nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \(\widehat{CMA}=\widehat{AMH}\)
Tương tự \(\widehat{DMB}=\widehat{HMB}\)
Mà do M thuộc đường tròn tâm O nên \(\widehat{AMB}=90^o\Rightarrow\widehat{AMH}+\widehat{HMB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CMD}=2.90^o=180^o\) hay C, M, D thẳng hàng.
Khi đó ACDB là hình thang, có OA = OB, MC = MD nên OM là đường trung bình. Vậy OM// DB hay OM vuông góc với CD tại M.
Nói các khác, M, C, D thuộc tiếp tuyến của (O) tại M.
b) Ta thấy theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì AC = AH, BD = BH nên AC + BD = AH + HB = AB = 2R (không đổi)
Ta thấy CD = 2MH
Xét tam giác vuông AMB, theo hệ thức lượng ta có: AH.HB = MH2
Vậy nên \(AC.BD=\left(\frac{CD}{2}\right)^2=\frac{CD^2}{4}\)
c) Xét tam giác KMO vuông tại M, áp dụng hệ thức lượng ta có: OH.OK = MO2
Mà OM = OA = OB nên OH.OK = OA2 = OB2.
Lời giải:
a) Đề bài không chuẩn. Có lẽ là CMR 3 điểm $C,M,D$ cùng nằm trên đường kính của $(M)$.
Ta thấy $AH,AC,BH,BD$ là tiếp tuyến của $(M)$
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
$MA$ là phân giác của góc \(\widehat{CMH}\)
$MB$ là phân giác của góc \(\widehat{DMH}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{CMH}=2\widehat{AMH}\\ \widehat{DMH}=2\widehat{BMH}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \widehat{CMH}+\widehat{DMH}=2(\widehat{AMH}+\widehat{BMH})\)
\(\Leftrightarrow \widehat{CMD}=2\widehat{AMB}\)
Mà \(\widehat{AMB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow \widehat{CMD}=2.90^0=180^0\Rightarrow C,M,D\) thẳng hàng
Mà $C,D\in (M)$ nên $CD$ là bán kính của $(M)$, hay $C,M,D$ cùng nằm trên đường kính $(M)$
b)
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau:
\(\left\{\begin{matrix} AC=AH\\ BD=BH\end{matrix}\right.\Rightarrow AC+BD=AH+BH=AB=2R\) không đổi
Ta có đpcm
c)
Theo phần b: \(AC.BD=AH.BH\)
Mà xét tam giác $AMB$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì: \(MH^2=AH.BH\)
Và: \(MH=\frac{CD}{2}\)( bán kính bằng một nửa đường kính)
\(\Rightarrow AC.BD=AH.BH=(\frac{CD}{2})^2=\frac{CD^2}{4}\)
d)
Vì \(AC\parallel BD(\) cùng vuông góc với $CD$)
\(\Rightarrow ACDB\) là hình thang
Xét hình thang trên dễ thấy $OM$ là đường trung bình của hình thang nên \(OM\parallel AC\Rightarrow OM\perp CD\) \(\Rightarrow OM \perp KM\)
Xét tam giác vuông $KMO$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông: \(OH.OK=MO^2=R^2=OA^2=OB^2\) (đpcm)
Hình vẽ:
