Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(f\left[f\left(x\right)+x\right]=\left[f\left(x\right)+x\right]^2+m\left[f\left(x\right)+x\right]+n\)
\(=\left(x^2+mx+n+x\right)^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+x^2+m\left(x^2+mx+n\right)+mx+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+\left(x^2+mx+n\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+mx+n+2x+m+1\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)
\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Thay \(x=2021\)
\(\Rightarrow f\left[f\left(2021\right)+2021\right]=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)
Đặt \(f\left(2021\right)+2021=k\)
Do \(f\left(x\right)\) có hệ số m;n nguyên \(\Rightarrow k\) nguyên
\(\Rightarrow f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\) với k nguyên
Hay tồn tại số nguyên k thỏa mãn yêu cầu
Để đây là hàm số bậc nhất và nghịch biến thì
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-4=0\\\left(n-5m\right)\left(2m+n\right)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\\left(5m-n\right)\left(2m+n\right)>0\end{matrix}\right.\)
TH1: m=2
=>(10-n)(4+n)>0
=>(n-10)(n+4)<0
=>-4<n<10
TH2: m=-2
=>(-10-n)(4+n)>0
=>(n+10)(n+4)<0
=>-10<n<-4
Cho đa thức \(f\left(x\right)=\left(5m+2n-1\right)x+2m-5n+15\)
Tính m và n khi \(f\left(x\right)=0\)
Lời giải:
Đặt cả biểu thức to là $P$
Với mọi số tự nhiên $n$, áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(n^7\equiv n\pmod 7\) \(\Leftrightarrow n^7-n\vdots 7(1)\)
\(n^7-n=n(n^6-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)\) có $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 6$
\(\Rightarrow n^7-n\vdots 6(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow n^7-n\vdots 42\) hay \(n^7\equiv n\pmod {42}\) (do 6 và 7 nguyên tố cùng nhau)
Áp dụng tính chất trên vào bài toán:
\([(27n+5)^7+10]^7\equiv (27n+5)^7+10\equiv 27n+5+10\pmod {42}(*)\)
\([(10n+27)^7+5]^7\equiv (10n+27)^7+5\equiv 10n+27+5\pmod {42}(**)\)
\([(5n+10)^7+27]^7\equiv (5n+10)^7+27\equiv 5n+10+27\pmod {42}(***)\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\equiv 27n+5+10+10n+27+5+5n+10+27\)
\(\equiv 42n+84\equiv 0\pmod {42}\)
Hay $P\vdots 42$
Ta có đpcm.
@Akai Haruma giúp em vs