Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C A' B' C' N M K
\(AA'\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{A'BA}\) là góc giữa A'B với đáy
Suy ra : \(\widehat{A'BA}=60^o\Rightarrow AA'=AB.\tan\widehat{A'BA}=a\sqrt{3}\)
Do đó \(V_{ABC.A'B'C'}=AA'.S_{\Delta ABC}=\frac{3a^2}{4}\)
Gọi K là trung điểm cạnh BC, suy ra Tam giác MNK vuông tại K, có :
\(MK=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};NK=AA'=a\sqrt{3}\)
Do đó : \(MN=\sqrt{MK^2+NK^2}=\frac{a\sqrt{13}}{2}\)
Đường trung bình
A'M song song và bằng 1/2 CC' nên A'M là đường trung bình tam giác PCC'
Hay A' là trung điểm PC'
Tương tự với cái còn lại
Ta có : \(\dfrac{KM}{AA'}=\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow KM=\dfrac{2}{3}h\)
Xét tam giác vuông IKM ta có : \(IM^2=IK^2+KM^2=\dfrac{3a^2}{9}+\dfrac{4h^2}{9}=\dfrac{3a^2+4h^2}{9}\)
Vậy :
\(IM=\dfrac{\sqrt{3a^2+4h^2}}{3}\)
A B H C C' A' B'
Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Suy ra :
\(\begin{cases}A'H\perp\left(ABC\right)\\AH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+3a^2}=a\end{cases}\)
Do đó : \(A'H^2=A'A^2-AH^2=3a^2=3a^2\Rightarrow A'H=a\sqrt{3}\)
Vậ \(V_{A'ABC}=\frac{1}{3}A'H.S_{\Delta ABC}=\frac{a^2}{2}\)
Trong tam giác vuông A'B'H ta có :
\(HB'=\sqrt{A'B'^2+A'H^2}=2a\) nên tam giác B'BH cân tại B'
Đặt \(\varphi\) là góc giữa 2 đường thẳng AA' và B'C' thì \(\varphi=\widehat{B'BH}\)
Vậy \(\cos\varphi=\frac{a}{2.2a}=\frac{1}{4}\)
Ta tính thể tích hình chóp A’.BCB’. Gọi M là trung điểm của B’C’, ta có: ATM ⊥ B’C’ (1)
Lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên: BB’ ⊥ (A’B’C’) ⇒BB’⊥ A’M (2)
Từ (1) và (2) suy ra
AM⊥ (BB’C) hay A’M là đường cao của hình chóp A’.BCB’
Gọi I là trung điểm của OO'
ABCDEF.A'B'C'D'E'F' là hình lăng trụ lục giác đều nên I là tâm đối xứng của các hình chữ nhật ADD'A', BEE'B', CFF'C'. Vậy nếu mp(P) đi qua I và cắt các cạnh AA', BB', CC', DD', EE', FF' theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q, R, S thì I là trung điểm của MQ, NR và PS
Suy ra phép đối xứng qua điểm I biến ABCDEF.MNPQRS thành D'E'F'A'B'C'.QRSMNP.
Nghĩa là ABCDEF.MNPQRS và D'E'F'A'B'C'. QRSMNP là hai khối da điện bằng nhau.
Vậy hai khối đa diện nói trên có thể tích bằng nhau.
A B C B' C' A' E M
Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B
Thể tích của khối lăng trụ là \(V_{ABC.A'B'C'}=AA'.BC=a\sqrt{2.}\frac{1}{2}a^2=\frac{\sqrt{2}}{2}a^3\)
Gọi E là trung điểm của BB'. Khi đó mặt phẳng (AME) song song với B'C nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B'C bằng khoảng cách giữa B'C và mặt phẳng (AME)
Nhận thấy, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AME)
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME). Do đó tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc với nhau nên :
\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BM^2}+\frac{1}{BE^2}\Rightarrow\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{a^2}=\frac{7}{a^2}\)
\(\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{7}}{7}\)
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng B'C và AM bằng \(\frac{a\sqrt{7}}{7}\)