Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại $O$ và $AC,BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường
$\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{m}{2}; DO=\frac{BD}{2}=\frac{n}{2}$
Xét tam giác $AOD$ vuông tại $O$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$\frac{1}{d(O, AD)^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OD^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{(\frac{m}{2})^2}+\frac{1}{(\frac{n}{2})^2}=\frac{4}{m^2}+\frac{4}{n^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$ (đpcm)
+ Qua C kẻ đg thẳng vuông góc với AC và cắt AD tại I
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của O,C trên AD.
+ OD là đg trung bình của t/g ACI
=> CI = 2 OD = BD = n
+ OH là đg trung bình của t/g ACK
=> CK = 2 OH = 2h
+ t/g ACI vuông tại C, đg cao CK
Suy ra \(\frac{1}{CK^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{CI^2}\)
\(< =>\frac{1}{\left(2h\right)^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\)
\(< =>\frac{1}{4h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Kẻ đường cao OH của tam giác vuông OAB. Áp dụng hệ thức về đường cao trong tam giác vuông cùng chú ý rằng O là trung điểm AC và BD để suy ra điều phải chứng minh.
+ Qua C kẻ đg thẳng vuông góc với AC và cắt AD tại I
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của O,C trên AD.
+ OD là đg trung bình của ΔACI
=> CI = 2OD = BD = n
+ OH là đg trung bình của ΔACK
=> CK = 2OH = 2h
+ ΔACI vuông tại C, đg cao CK
\(\Rightarrow\frac{1}{CK^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{CI^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(2h\right)^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\Rightarrow\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4h^2}\)
m=2AO;n=2BO>>>m^2=4AO^2;n^2=4BO^2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông>>>1/AO^2+1/Bo^2=1/h^2
>>>1/4AO^2+1/4BO^2=1/4h^2>>>1/m^2+1/n^2=1/4h^2
Xét \(\Delta OBC\)có: OH _|_ BC
=> \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}\)hay \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}\)(*)
\(AC=m\Rightarrow OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m\)
\(BD=n\Rightarrow OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}n\)
Thay vào pt (*) => \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}m\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{1}{2}n\right)^2}=\frac{4}{m^2}+\frac{4}{n^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\)
xét \(_{\Delta}\)AOB vuông tại O có:
\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}\) hay \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{\left(\frac{m}{2}\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{n}{2}\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{h^2}=4\left(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\right)\)
=> đpcm