Question

[Nguyễn Hảo]

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mp (ABCD) và SA=a căn 3. O là tâm hình vuông ABCD.

a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

b) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

c) G1 là trọng tâm tam giác SAC. Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại I. Tính khoảng cách từ G1 đến (SBC), I đến (SBC).

d) J là trung điểm SD, tính khoảng cách từ J đến (SBC)

e) Gọi G2 là trọng tâm của SDC. Tính khoảng cách từ G2 đến ( SBC).

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

b/ \(AO\) cắt \(\left(SBC\right)\) tại C, mà \(AC=2OC\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=2d\left(O;\left(SBC\right)\right)\)

\(\Rightarrow d\left(O;\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

c/ Gọi M là trung điểm SC \(\Rightarrow AG_1\) cắt (SBC) tại M

Mà \(AM=3G_1M\) (t/c trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=3d\left(G_1;\left(SBC\right)\right)\Rightarrow d\left(G_1;\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(IG_1//SB\Rightarrow IG_1//\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow d\left(I;\left(SBC\right)\right)=d\left(G_1;\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

d/ J là trung điểm SD, O là trung điểm BD \(\Rightarrow OJ\) là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow OJ//SB\Rightarrow OJ//\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow d\left(J;\left(SBC\right)\right)=d\left(O;\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

e/ \(G_2C=\frac{2}{3}JC\) (tính chất trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G_2;\left(SBC\right)\right)=\frac{2}{3}d\left(J;\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)