Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(x\right)=x^2+2\left(m+1\right)x+m+3\)
Để \(f\left(x\right)\ge0\)với mọi \(x\inℝ\)thì:
\(\hept{\begin{cases}a=1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m+3\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow m^2+m-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m\ge1\\m\le-2\end{cases}}\).
a) Với \(x\in\left[0;1\right]\) => x - 2 < 0 => |x - 2| = - (x -2)
Khi đó, \(f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\frac{m\left(x-2\right)}{-\left(x-2\right)}=2\left(m-1\right)x-m\)
Để f(x) < 0 với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(2\left(m-1\right)x-m<0\) (*) với mọi \(x\in\left[0;1\right]\)
+) Xét m - 1 > 0 <=> m > 1
(*) <=> \(x<\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Để (*) đúng với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(\frac{m}{2\left(m-1\right)}\ge1\) <=> 2(m -1) \(\le\)m <=> m \(\le\) 2 <=> m \(\le\) 2
Kết hợp điều kiện m > 1 =>1 < m \(\le\) 2
+) Xét m = 1 thì (*) <=> -1 < 0 luôn đúng => m =1 thỏa mãn
+) Xét m - 1 < 0 <=> m < 1
(*) <=> \(x>\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Để (*) đúng với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(\frac{m}{2\left(m-1\right)}\le0\) <=> m \(\ge\) 0 (do m< 1 ). Kết hợp m < 1 => 0 \(\le\) m < 1
Kết hợp các trường hợp : Với 0 \(\le\)m \(\le\) 2 thì .....
b) Hoành độ giao điểm của đò thị hàm số với Ox là nghiệm của Phương trình : \(2\left(m-1\right)x+\frac{m\left(x-2\right)}{\left|x-2\right|}=0\) (1)
Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ xo thuộc (1;2) => xo < 2 => |xo - 2| = - (xo - 2)
xo là nghiệm của (1) <=> \(2\left(m-1\right)x_o+\frac{m\left(x_o-2\right)}{\left|x_o-2\right|}=0\) <=> \(2\left(m-1\right)x_o-m=0\)
+) Xét m \(\ne\) 1 thì (2)<=> \(x_o=\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Vì 1 < xo < 2 nên \(1<\frac{m}{2\left(m-1\right)}<2\) <=> \(\begin{cases}\frac{m}{2\left(m-1\right)}-1>0\\\frac{m}{2\left(m-1\right)}-2<0\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}\frac{-m+2}{2\left(m-1\right)}>0\left(a\right)\\\frac{-3m+4}{2\left(m-1\right)}<0\left(b\right)\end{cases}\)
Giải (a) <=> 1 < m < 2
Giải (b) <=> m < 1 hoặc m > 4/3
Kết hợp nghiệm của (a) và (b) => 4/3 < m < 2
+) Xét m = 1 thì (2) <=> -1 = 0 Vô lí
Vậy Với 4/3 < m < 2 thì đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm thuộc (1;2)
Bạn tự vẽ đồ thị.
Ta đã biết quy tắc vẽ đồ thị của hàm số \(y=f\left(\left|x\right|\right)\) là vẽ đồ thị của hàm \(y=f\left(x\right)\), sau đó bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần đồ thị bên phải qua.
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có hai nghiệm dương phân biệt thì \(f\left(\left|x\right|\right)=0\) có 4 nghiệm phân biệt, nếu \(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm trái dấu thì \(f\left(\left|x\right|\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt, nếu \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm kép dương thì \(f\left(\left|x\right|\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
\(f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-2\right)f\left(\left|x\right|\right)+m-3=0\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(f\left(\left|x\right|\right)-1\right)\left(f\left(\left|x\right|\right)-m+3\right)=0\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(\left|x\right|\right)-1=0\\f\left(\left|x\right|\right)-m+3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Xét \(f\left(x\right)-1=x^2-4x+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{2}\\x=2-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) (3)
\(\Rightarrow f\left(x\right)-1=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt \(\Rightarrow f\left(\left|x\right|\right)-1=0\) có 4 nghiệm phân biệt
\(\Rightarrow\) Để (1) có 6 nghiệm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm phân biệt. Ta có các trường hợp sau:
TH1: \(f\left(x\right)-m+3=0\Leftrightarrow x^2-4x-m+6=0\) có 2 nghiệm trái dấu, và nghiệm dương khác nghiệm của (3).
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1.\left(6-m\right)< 0\\m\ne4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>6\)
TH2: \(f\left(x\right)-m+3=0\Leftrightarrow x^2-4x-m+6=0\) có nghiệm kép dương và khác nghiệm của (3)
\(\Rightarrow\Delta'=4+m-6=0\Rightarrow m=2\) \(\Rightarrow x=2>0\) (t/m)
Vậy để pt đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì: \(\left[{}\begin{matrix}m>6\\m=2\end{matrix}\right.\)
mình dựa vào đồ thị cũng ra như bạn, nhưng đáp án chỉ có 1,2,3 hoặc 4 giá trị nguyên của m thôi, có khi nào mình sai ở đâu đấy k nhỉ
a/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\Delta=\left(3+m\right)^2-8\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m^2-2m+1\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)
b/ - Với \(m=-1\Rightarrow-2x+2< 0\Rightarrow x>1\) (ko thỏa mãn)
Với \(m\ne-1\Rightarrow\Delta=\left(m-1\right)^2\ge0\) \(\forall m\)
Để \(f\left(x\right)< 0\) với mọi \(x< -1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1< 0\\-1< x_1< x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\frac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\x_1x_2+x_1+x_2+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\\frac{2}{m+1}+\frac{m+3}{m+1}+1>0\\\frac{m+3}{m+1}>-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\2m+6< 0\\3m+5< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -3\)