Question

[Khiêm Nguyễn Gia]

Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) không đổi, \(AB\) và \(CD\) là hai đường kính bất kỳ của \(\left(O\right)\) (\(AB\) khác \(CD\)). Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) cắt các đường thẳng \(BC\), \(BD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Gọi \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AM\) và \(AN\), \(H\) là trực tâm của tam giác \(BPQ\).
\(a\)) Chứng minh hai tam giác \(BCD\) và \(BNM\) đồng dạng.
\(b\)) Chứng minh rằng khi hai đường kính \(AB\) và \(CD\) thay đổi thì độ dài đoạn thẳng \(AH\) luôn không đổi.

Answer 1

[Lê Song Phương]

 a) Tam giác ABM vuông tại A có đường cao AC nên \(BC.BM=BA^2\). CMTT, \(BD.BN=BA^2\) nên \(BC.BM=BD.BN\Leftrightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BN}{BC}\). Từ đây dễ dàng suy ra \(\Delta BNM~\Delta BCD\left(c.g.c\right)\) (đpcm)

 b) Ta có OQ//BN, OP//BM, mà \(MB\perp NB\) nên suy ra \(OP\perp BN\), từ đó O là trực tâm tam giác BPN.\(\Rightarrow ON\perp BP\)

 Lại có \(QH\perp BP\) nên QH//ON.

Tam giác AON có Q là trung điểm AN, QH//ON nên H là trung điểm OA \(\Rightarrow AH=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{R}{2}\) không đổi.