Question

[quangduy]

Cho \(\Delta\)S.ABC, đáy là \(\Delta\) đều cạnh a, \(\Delta\) SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đấy, biết \(SH=\frac{a}{2}\), với H là trung điểm AC.

a) Tính góc giữa SB và (ABC)

b) Gọi M là trung điểm BC. Tính góc giữa SM và (SBH).

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ Do H là trung điểm BC \(\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(SH\perp AC\Rightarrow SH\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SBH}\) là góc giữa SB và (ABC)

\(tan\widehat{SBH}=\frac{SH}{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{SBH}=30^0\)

b/ Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt BH tại N

\(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác BCH \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{4}AC=\frac{a}{4}\\HN=\frac{1}{2}BH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow SN=\sqrt{SH^2+HN^2}=\frac{a\sqrt{7}}{4}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MN\perp BH\\MN\perp SH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MN\perp\left(SBH\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MSN}\) là góc giữa SM và (SBH)

\(tan\widehat{MSN}=\frac{MN}{SN}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)