Question

[Phan Hải Đăng]

Cho \(\Delta ABC\)có \(\widehat{BAC}=40^0,\widehat{ABC}=60^0.\)Gọi D và E là các điểm tương ứng trên AC và AB sao cho \(\widehat{CBD}=40^0,\widehat{BCE}=70^0\). BD cắt CE tại F. CMR\(AF\perp BC\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A C B E D F F' G K L H

Trên cạnh BA của \(\Delta\)ABC lấy điểm G sao cho BG = BC. Ta có:

^CFB = 180⁰ - ^BCF - ^CBF = 180⁰ - ^BCE - ^CBE = 70⁰ => ^CFB = ^BCF (=70⁰)

=> \(\Delta\)CBF cân tại B => BF = BC = BG => \(\Delta\)GBF cân tại B => ^BGF = (180⁰ - ^GBF)/2 = 80⁰

=> ^FGA = 100⁰. Gọi GF cắt AC tại L. Trên đoạn GL lấy điểm F' sao cho ^CAF' = 10⁰

Qua F' dựng đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt AC tại H

Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, dựng \(\Delta\)GAK đều

Xét \(\Delta\)ALG: ^LGA = 100⁰ (cmt), ^LAG = 40⁰ => \(\Delta\)ALG cân tại G => \(\Delta\)LF'H cân tại F' (F'H // AG)

Xét \(\Delta\)CLG: ^GCL = ^ACB - ^BCG = 20⁰, ^CLG = 180⁰ - ^GLA = 140⁰ => \(\Delta\)CLG cân tại L

Có ^GAF' = ^BAC - ^CAF' = 30⁰ = ^GAK/2 => ^GAF' = ^KAF'. Từ đây dễ có \(\Delta\)F'GA = \(\Delta\)F'KA (c.g.c)
=> F'G = F'K => \(\Delta\)GF'K cân tại F'. Do ^F'GK = ^F'GA - ^KGA = 40⁰ nên ^GF'K = 100⁰

Suy ra ^GF'K = ^HF'L (= ^AGL = 100⁰) => ^GF'H = ^KF'L (= 100⁰ - ^KF'H)

Kết hợp với F'H = F'L; F'G = F'K (cmt) suy ra \(\Delta\)HF'G = \(\Delta\)LF'K (c.g.c) => ^F'LK = ^F'HG

Dễ dàng tính được ^F'LK = ^GLK = (180⁰ - 40⁰)/2 = 70⁰ => ^F'HG = 70⁰ => ^HGA = 70⁰ (Vì F'H // AG)

Ta thấy \(\Delta\)AGH có ^GAH = 40⁰ , ^HGA = 70⁰ => \(\Delta\)AGH cân tại A

Từ đó AH = AG = GL = CL (Vì các tam giác AGL, CLG cân). Dễ dàng chứng minh:

\(\Delta\)CLF' = \(\Delta\)AHF' (c.g.c) (F'L = F'H, ^F'LC = ^F'HA, CL = AH) => ^LCF' = ^HAF' = ^CAF' = 10⁰

=> ^BCF' = 70⁰ = ^BCE => CF' trùng CE. Ban đầu ta nhận thấy CE cắt GL tại F

Mà CF' trùng CE, F' thuộc GL nên F' trùng F. Tức là ^CAF = ^CAF' = 10⁰ => ^CAF + ACB = 90⁰

Vậy thì AF vuông góc với BC (đpcm).