Question

[Vũ Thị Ngọc]

Cho \(\Delta\) ABC vuông ở A. Đường phân giác BD. Kẻ DK\(\perp\)BC (K \(\in\) BC)

a) Chứng minh: BD \(\perp\) AK

b) Kẻ AH \(\perp\) BC ( H \(\in\) BC). Chứng minh: AK là phân giác \(\widehat{HAC}\)

c) Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh: IK//AC

Answer 1

[Lê Vương Kim Anh]

a) Xét \(\Delta BDK\) và \(\Delta BAD\) có:

BD (chung)

\(\widehat{KBD}=\widehat{ABD}\) (BD là tia phân giác \(\widehat{B}\) )

\(\widehat{DKB}=\widehat{DAB}=90^0\)

Do đó: \(\Delta BDK=\Delta BAD\left(ch-gn\right)\)

=> KB = AB (hai cạnh tương ứng)

=> \(\Delta KAB\) cân tại B

=> B \(\in\) đường trung trực của đoạn thẳng KA (1)

=> DK = DA (hai cạnh tương ứng)

=> \(\Delta DKA\) cân tại D

=> D \(\in\) đường trung trực của đoạn thẳng KA (2)

(1), (2) => BD là đường trung trực của đoạn thẳng KA

=> BD \(\perp\) AK

b) Vì \(\widehat{DKH}=\widehat{AHB}=90^0\)

=> DK // AH (đồng vị)

=> \(\widehat{DKA}=\widehat{KAH}\) (sole trong) (1)

Vì \(\Delta DKA\) cân

=> \(\widehat{DAK}=\widehat{DKA}\) (2)

(1); (2) => \(\widehat{DAK}=\widehat{KAH}\)

=> AK là tia phân giác \(\widehat{HAC}\)

c) Vì \(\Delta BDK=\Delta BAD\) (cmt)

=> \(\widehat{KDB}=\widehat{ADB}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta DAI\) và \(\Delta DKI\) có:

DI (chung)

\(\widehat{ADI}=\widehat{KDI}\) (cmt)

DK = DA (cmt)

Do đó: \(\Delta DAI=\Delta DKI\) (c-g-c)

=> \(\widehat{DAI}=\widehat{DKI}\) (hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{DAK}=\widehat{DKA}\)

Do đó: \(\widehat{KAI}=\widehat{AKI}\)

mà \(\widehat{DAK}=\widehat{KAI}\)

=> \(\widehat{DAK}=\widehat{AKI}\)

=> IK // AC