Question

[Hồ Thị Hải Yến]

Cho \(A=n^{2015}+n^{2014}+1\) tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) để \(A\)  là số nguyên tố.

Answer 1

[Trần Thị Loan]

A = n². ( n²⁰¹³ - 1) + n.(n²⁰¹³ - 1) + ( n² + n + 1)

Áp dụng hằng đẳng thức aⁿ - bⁿ = (a - b). ( a^n-1 + a^n-2.b + a^n-3.b² + ...+a.b^n-2 + b^n-1)

Ta có: n²⁰¹³ - 1 = (n³)⁶⁷¹ - 1 = (n³ - 1). C  (đặt C là đa thức của n) = (n - 1).(n² + n + 1). C

=> n²⁰¹³ - 1 chia hết cho n² + n + 1

=>  n²;  ( n²⁰¹³ - 1);  n.(n²⁰¹³ - 1) ; ( n² + n + 1) đều chia hết n² + n + 1 

=> A chia hết cho n² + n + 1 hay n² + n + 1 là 1 ước của A

Để A là số nguyên tố <=> n² + n + 1 = 1 hoặc A = n² + n + 1

+) Nếu n² + n + 1 = 1 <=> n² + n = 0 <=> n (n + 1) = 0 <=> n = 0 Vì n là số tự nhiên => A = 1 không là số nguyên tố => Loại

+) Nếu n² + n + 1 = n²⁰¹⁵ + n²⁰¹⁴ + 1 <=> n.(n + 1) = n²⁰¹⁴.( n + 1) <=> n.(n +1). (1 - n²⁰¹³) = 0 

<=> n = 0 hoặc n²⁰¹³ = 1 <=> n = 0 hoặc n = 1 Vì n là số tự nhiên; n = 0 loại

Vậy với n = 1 thì A .............

Answer 2

[minh]

A = n2. ( n2013 - 1) + n.(n2013 - 1) + ( n2 + n + 1)

Ta có: n2013 - 1 = (n3)671 - 1 = (n3 - 1). C  (đặt C là đa thức của n) = (n - 1).(n2 + n + 1). C

=> n2013 - 1 chia hết cho n2 + n + 1

=>  n2;  ( n2013 - 1);  n.(n2013 - 1) ; ( n2 + n + 1) đều chia hết n2 + n + 1 

=> A chia hết cho n2 + n + 1 hay n2 + n + 1 là 1 ước của A

Để A là số nguyên tố <=> n2 + n + 1 = 1 hoặc A = n2 + n + 1

+) Nếu n2 + n + 1 = 1 <=> n2 + n = 0 <=> n (n + 1) = 0 <=> n = 0 Vì n là số tự nhiên => A = 1 không là số nguyên tố => Loại

+) Nếu n2 + n + 1 = n2015 + n2014 + 1 <=> n.(n + 1) = n2014.( n + 1) <=> n.(n +1). (1 - n2013) = 0 

<=> n = 0 hoặc n2013 = 1 <=> n = 0 hoặc n = 1 Vì n là số tự nhiên; n = 0 loại

Vậy với n = 1 thì A .............