Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow S=2007.\frac{1}{90}-3=\frac{2007-270}{90}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{\left(a+b+c\right)c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)c=-\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)
Tự làm nốt
a^2014+b^2014+c^2014=a^2015+b^2015+c^2015=1
<=> (a^2014-a^2015)+(b^2014-b^2015)+(c^2014-c^2015)=0
suy ra \(\hept{\begin{cases}a^{2014}=a^{2015}\\b^{2014}=b^{2015}\\c^{2014}=c^{2015}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}a=1\\a=0\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}b=1\\b=0\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}c=1\\c=0\end{cases}}\end{cases}}\)
<=> a=1 hoặc a=0; b=1 or b=0; c=1;c=0 mà a^2014+b^2014+c^2014=1
suy ra a,b,c có 2 trong 3 số bằng 0 và 1 số bằng 1
P=1
\(S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(S+3=\left(1+\frac{a}{b+c}\right)+\left(1+\frac{b}{a+c}\right)+\left(1+\frac{c}{a+b}\right)\)
\(S+3=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}=\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(S+3=\frac{2014.1}{2014}=1\Rightarrow S=1-3=-2\)
Đặt : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=P\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).P=\frac{1}{2019}.2019\)
\(\Rightarrow1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}=\frac{6057}{2019}+\frac{\left(-4038\right)}{2019}\)
\(\Rightarrow3+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=3+\left(-2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=-2\)
Vì \(a+b+c=2016\Rightarrow a=2016-\left(b+c\right);b=2016-\left(a+c\right);c=2016-\left(a+b\right)\)
Ta có:\(S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(S=\frac{2016-\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{2016-\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{2016-\left(a+b\right)}{a+b}\)
\(S=\frac{2016}{b+c}-1+\frac{2016}{a+c}-1+\frac{2016}{a+b}-1\)
\(S=2016.\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(S=2016.\frac{1}{2016}-3\)
\(S=-2\)
Vì \(a,b,c\) lần lượt là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cho trước nên suy ra \(a,b,c>0\)
\(----------------\)
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho hai số dương, ta có:
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)a^{2014}\ge2\sqrt{\frac{a^{2016}}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)a^{2014}}=2a^{2015}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+a^{2014}b+ca^{2014}\ge3a^{2015}\) \(\left(1\right)\)
Theo đó, ta cũng thiết lập tương tự hai bất đẳng thức mới bắt đầu với các hoán vị \(b\rightarrow c\rightarrow a,\) thu được:
\(\frac{b^{2016}}{c+a-b}+b^{2014}c+ab^{2014}\ge3b^{2015}\) \(\left(2\right)\)
\(\frac{c^{2016}}{a+b-c}+c^{2014}a+bc^{2014}\ge3c^{2015}\) \(\left(3\right)\)
Cộng ba bất đẳng thức \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right),\) đồng thời chuyển vế, khi đó bđt mới có dạng:
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge3\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\)
\(-\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\) \(\left(\alpha\right)\)
\(----------------\)
Mặt khác, lại theo bđt \(AM-GM,\) ta có:
\(\Omega_1:\) \(2014a^{2015}+b^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(a^{2014}b\right)^{2015}}=2015a^{2014}b\)
\(\Omega_2:\) \(2014b^{2015}+a^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(b^{2014}a\right)^{2015}}=2015b^{2014}a\)
Cộng từng vế của hai bđt ở trên và rút gọn, khi đó:
\(a^{2015}+b^{2015}\ge a^{2014}b+b^{2014}a=ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)\) \(\left(1^'\right)\)
Tương tự ta thực hiện các dãy biến đổi như trên, nhận được:
\(b^{2015}+c^{2015}\ge bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)\) \(\left(2^'\right)\)
\(c^{2015}+a^{2015}\ge ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\) \(\left(3^'\right)\)
Từ \(\left(1^'\right);\left(2^'\right)\) và \(\left(3^'\right)\) suy ra \(2\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\ge\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\) \(\left(\beta\right)\)
\(----------------\)
\(\left(\alpha\right);\beta\) \(\Rightarrow\) \(đpcm\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c,\) tức là tam giác khi đó phải là một tam giác đều!
\(S=\left(\frac{c}{a+b}+1\right)+\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)-3\)
\(=\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
\(=2001\cdot\frac{1}{10}-3=\frac{1971}{10}\)