Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
format('truetype')%3Bfont-weight%3Anormal%3Bfont-style%3Anormal%3B%7D%3C%2Fstyle%3E%3C%2Fdefs%3E%3Ctext%20font-family%3D%22math1c213877427b46fa96cff6c39e8%22%20font-size%3D%2216%22%20text-anchor%3D%22middle%22%20x%3D%229.5%22%20y%3D%2216%22%3E%26%23x25B3%3B%3C%2Ftext%3E%3C%2Fsvg%3E)
ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH, kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn tâm A(D,E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:
a/ Xét \(\Delta ABC\) có
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (1)
Ta có
\(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)
Ta có
\(\widehat{ACE}=\widehat{ACB}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)
\(\Rightarrow\left(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}\right)+\left(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}\right)=\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=180^o\)
=> BD//CE (hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc trong cùng phía bù nhau thì chúng // với nhau)
Ta có
\(AD\perp BD\Rightarrow AD\perp CE\)
\(AE\perp CE\Rightarrow AE\perp BD\)
=> AD và AE cùng vuông góc với BD => AD và AE trùng nhau (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho) => D; A; E thẳng hàng
b/
Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A => A thuộc đường tròn đường kính BC. Gọi I là trung điểm BC nối AI ta có
BD//CE => BDEC là hình thang
AD=AE (bán kính (O))
IB=IC
=> AI là đường trung bình của hình thang BDEC => AI//CE mà \(CE\perp DE\Rightarrow AI\perp DE\) => DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC hay DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC
a) Theo tính chất của hai của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE.
Suy ra: ^DAE=^DAB+^BAH+^HAC+^CAE=2^BAH+2^HAC=2^BAC=180o.
Do ^DAE=180o nên DE là đường kính, suy ra D, E, A thẳng hàng.
b) Theo câu a: DE là đường kính đường tròn tâm A.
Có BD⊥DE,CE⊥DE. Suy ra BD//CE.
Gọi O là trung điểm BC.
Vậy tứ giác BDEC là hình thang. Do O và A lần lượt là trung điểm của BC, DE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC.
Suy ra OA⊥DE mà OA=BC2 nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC.
Thế thì tiếp xúc với đường tròn đường kính .
a, Vì CM là tiếp tuyến của (A)
=> \(CM\perp AM\)
=> ^CMA = 90o
=> M thuộc đường tròn đường kính AC
Vì ^CHA = 90o
=> H thuộc đường tròn đường kính AC
Do đó : M và H cùng thuộc đường tròn đường kính AC
hay 4 điểm A,C,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính AC
b, Vì AM = AH ( Bán kính)
CM = CH (tiếp tuyến)
=> AC là trung trực MH
=> \(AC\perp MH\)tại I
Xét \(\Delta\)AMC vuông tại M có MI là đường cao
\(\Rightarrow MA^2=AI.AC\)(Hệ thức lượng)
c, Vì CM , CH là tiếp tuyến của (A)
=> AC là phân giác ^HAM
=> ^HAC = ^MAC
Mà ^HAC + ^HAB = 90o
=> ^MAC + ^HAB = 90o
Ta có: ^BAD + ^BAC + ^CAM = 180o (Kề bù)
=> ^BAD + 90o + ^CAM = 180o
=> ^BAD + ^CAM = 90o
Do đó ^BAD = ^BAH (Cùng phụ ^CAM)
Xét \(\Delta\)BAD và \(\Delta\)BAH có:
AB chung
^BAD = ^BAH (cmt)
AD = AH (Bán kính (A) )
=> \(\Delta BAD=\Delta BAH\left(c.g.c\right)\)
=> ^ADB = ^AHB = 90o
\(\Rightarrow BD\perp AD\)
=> BD là tiếp tuyến của (A)
Làm đc đến đây thôi :(