Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta co
(a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))<=10
<=>\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)(1)\(\le7\)
That vay ta co
Do a,b,c co vai tro nhu nhau nen ta gia su a>=b>=c
=>(a-b)(b-c)>=0
=> ab+bc>=b2+ac
Do a,b,c khac 0
=>\(\hept{\begin{cases}1+\frac{c}{a}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\\1+\frac{a}{c}\ge\frac{b}{c}+\frac{a}{b}\end{cases}}\)
=> 2+2(\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\))>=(1)
Do a,b,c thuoc [1;2]
=> a/c<=2; c/a<=1/2
=>\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{5}{2}\)
=>\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\le7\)
=> (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)<=10
Ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b ≤ 10
<=> a/b+b/a+b/c+c/a+c/b ≤ 7
Giả sử 1 ≤ c ≤ b ≤ a ≤ 2 thì:
(1 - a/b)(1 - b/c) + (1 - b/a)(1 - c/b) ≥ 0
<=> 2 + a/c + c/a ≥ a/b + b/a + b/c + c/b
<=> 2+2(a/c+c/a) ≥ a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b
Do 1≤ a,c ≤2
=> 1/2≤ a/c ≤ 2
=> (a/c-2)(a/c-1/2) ≤ 0
=> a/c+c/a ≤ 5/2
Mà 2+2(a/c+c/a) ≥ a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b
=> 7 ≥ a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b
=> (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≤ 10
Ta có :\(\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{ab-1}{b}.\frac{bc-1}{c}.\frac{ac-1}{a}\)
Ta lại có : \(\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(b-\frac{1}{b}\right)\left(c-\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{a^2-1}{a}.\frac{b^2-1}{b}.\frac{c^2-1}{c}\)
Ta có :
\(\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)\ge\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(b-\frac{1}{b}\right)\left(c-\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ac-1\right)}{abc}\ge\frac{\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ac-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ac\right)^2+\left(ac-ab\right)^2\ge\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2\left(b^2-1\right)+\left(b-c\right)^2\left(a^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\left(c^2-1\right)\ge0\left(1\right)\)
Do a,b,c là các số thực dương không nhỏ hơn 1 nên (1) đúng .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và khỉ khi : \(\hept{\begin{cases}\left(a-c\right)^2\left(b^2-1\right)=0\\\left(b-c\right)^2\left(a^2-1\right)=0\\\left(a-b\right)^2\left(c^2-1\right)=0\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)
Dấu "=" còn xảy ra ở các TH:
a = b = 1, c bất kì .
a = c =1, b bất kì
b = c = 1, a bất kì
( a, b, c ko nhỏ hơn 1 )