K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
13 tháng 7 2017
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
PA
13 tháng 7 2017
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
a.
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=6\) \(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge12\Rightarrow-12\ge-2\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=a^2+4+b^2+4+c^2+4-12\ge4a+4b+4c-2\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)\)
b.
\(a^3+b^3+c^3=\dfrac{1}{2}\left(a^3+a^3+8\right)+\dfrac{1}{2}\left(b^3+b^3+8\right)+\dfrac{1}{2}\left(c^3+c^3+8\right)-12\)
\(\ge3a^2+3b^2+3c^2-12\ge3a^2+3b^2+3c^2-2\left(a+b+c\right)\ge3a^2+3b^2+3c^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)=...\)
KF
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\geq 2\sqrt{(a-b).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$
Ta có đpcm.
TN
9 tháng 7 2017
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
9 tháng 7 2017
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2021
Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng:
\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.
Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.
FM
3 tháng 11 2018
Đặt x = a + b; y = ab thì:
BĐt tương đương:
\(x^2-2y+\frac{\left(1+y\right)^2}{x^2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2y\right)+\left(1+y\right)^2-2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^2y+y^2+2y+1-2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y-1\right)^2\ge0\left(lđ\right)\)
Đến đây bạn tự kết luận nha
KN
13 tháng 4 2020
Ta có phép biến đổi tương đương:
\(a^2+b^2+\frac{\left(ab+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\ge2\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)+\left(ab+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)+\left(ab+1\right)^2\ge2\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]-2\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2ab\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right)^2+\left(ab+1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2\left(a+b\right)^2\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-ab-1\right]^2\ge0\)(đúng với mọi a,b)
Các bđt trên tương đương với nhau nên bđt cần chứng minh đúng
Vậy \(a^2+b^2+\frac{\left(ab+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\ge2\)
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành: \(32\left(a^5+b^5\right)\ge2\left(a+b\right)^5\)
* Xét biểu thức: \(32\left(a^5+b^5\right)-2\left(a+b\right)^5=10\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(3a^2+3b^2+2ab\right)\ge0\forall a,b\inℝ\)do \(3a^2+3b^2+2ab=2a^2+2b^2+\left(a+b\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1