\(P=a\left(a^2+b\right)+b\left(b^2+a\right)\...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 2 2018

ta có:a+b=2013\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=2013^2\)

áp dụng  cô si\(\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{2013^2}{4}\)

\(P=a^3+b^3+2ab=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+2ab\)

\(P=2017^3-ab\left(3a+3b-2\right)=2017^3-6037ab\)

\(P\ge2017^3-\frac{2013^2.6037}{4}\)đến đây tự tính 

Dấu "=" xảy ra khi a=b=2013/2

14 tháng 2 2018

Min P = 2041281643 <=> x = 1007 và y = 1006 hoặc x = 1006 và y = 1007.
Max P = 8144869753 <=> x = 2012 và y = 1, hoặc x = 1 và y = 2012.

9 tháng 4 2018

a, Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)

Ta có: \(A=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

b, Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x,y,z>0\)

Ta có: \(B=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2+\left(1+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{3}=27\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

* Các BĐT phụ bạn tự CM nha! Chúc bạn học tốt

10 tháng 4 2018

Camon bạn!!! Nhưng bạn đọc sai đề r !! ^.^

28 tháng 8 2020

Mình học lớp 8 nên vẫn chưa biết "Min" là gì vậy bạn?

28 tháng 8 2020

\(S=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)

\(=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+4\)

Dễ có:\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}=8\)

Khi đó:\(S\ge\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}\)

Vậy ta có đpcm

1a)

Đặt \(a^2+a+1=t\Rightarrow a^2+a+2=t+1\)

\(\Rightarrow A=t\left(t+1\right)-12=t^2+t-12=t^2-3t+4t-12=\left(t-3\right)\left(t+4\right)\)

\(=\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a+5\right)\)

Mà \(a>1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+a-2>0\\a^2+a+5>0\end{cases}}\forall a>1\)

Vậy A là hợp số

1b)

Ta có :

\(B=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\cdot...\cdot\left(2^{1006}+1\right)+1\)

\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\cdot...\cdot\left(2^{1006}+1\right)+1=....=\left(2^{1006}-1\right)\left(2^{1006}+1\right)+1\)

\(=2^{2012}-1+1=2^{2012}\)

20 tháng 9 2019

Ez mà man:) t dùng bđt tiếp tục;)

Bài 1: Đơn giản nên t dùng hđt:)

a) Xét hiệu \(A-2xy=\left(x^2-2xy+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow A\ge2xy=12\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y; xy = 6 suy ra \(x=y=\sqrt{6}\)

Vậy...

b) Đặt B =xy. Ta có: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-B=\frac{\left(x+y\right)^2-4B}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{4}=\frac{\left(x-y\right)^2}{4}\ge0\)

Nên \(B\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{5^2}{4}=\frac{25}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = \(\frac{5}{2}\)

NV
20 tháng 9 2019

1/ a/ \(A=x^2+y^2\ge2xy=16\)

\(A_{min}=12\) khi \(x=y=\sqrt{6}\)

b/ \(B=xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{25}{4}\)

\(B_{max}=\frac{25}{4}\) khi \(x=y=\frac{5}{2}\)

2/

\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{a+b+c}=9\)

\(P_{min}=9\) khi \(a=b=c\)

20 tháng 1 2019

\(a)\) Có \(2012=x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy\le1006^2\)

\(B=\frac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{2\left(x^2+2xy+y^2\right)}{x^2+2xy+y^2}+\frac{4xy}{x^2+2xy+y^2}=2+\frac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\le2+\frac{4.1006^2}{2012^2}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1006\)

\(b)\) \(C=\left(1+\frac{2012}{x}\right)^2+\left(1+\frac{2012}{y}\right)^2\ge\left[2+2012\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2\ge\left(2+\frac{2012.4}{x+y}\right)^2\)

\(=\left(2+\frac{2012.4}{2012}\right)^2=36\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1006\)

... 

20 tháng 1 2019

cảm ơn bạn nhiều