TL
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
16 tháng 8 2016
Giả thiết là \(a,b\ge0\)thì chuẩn hơn.
\(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab=1+2ab\ge1\text{ }\Rightarrow\text{ }a+b\ge1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(2ab=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\text{ }\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
\(P=\sqrt{1+2a}+\sqrt{1+2b}\)
Max: Áp dụng bđt đã sử dụng ở trên: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)
\(P^2\le2\left(1+2a+1+2b\right)=4\left(a+b\right)+4\le4\sqrt{2}+4\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{4+4\sqrt{2}}=2\sqrt{1+\sqrt{2}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Min: Dùng bđt \(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}\ge1+\sqrt{1+x+y}\text{ (1)}\left(x;\text{ }y\ge0\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow1+x+1+y+2\sqrt{1+x}\sqrt{1+y}\ge1+1+x+y+2\sqrt{x+y+1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+x}\sqrt{1+y}\ge\sqrt{1+x+y}\)
\(\Leftrightarrow xy+x+y+1\ge x+y+1\)
\(\Leftrightarrow xy\ge0\)
Do bđt cuối dúng với mọi \(x,y\ge0\) nên (1) đúng.
Dấu bằng xảy ra khi \(xy=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)
\(P\ge1+\sqrt{1+2\left(a+b\right)}\ge1+\sqrt{1+2}=1+\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}a=0;\text{ }b=1\\a=1;\text{ }b=0\end{cases}}\)
1 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a.\frac{3a+a+2b}{2}=2a^2+ab\)
Tương tự : \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\)
Cộng vế theo vế, ta được :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2\left(a^2+b^2\right)+2ab=4+2ab\le4+a^2+b^2\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
KN
22 tháng 10 2020
Ta có: \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)};\)\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{c}{abc+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{bc}{abc^2+abc+bc}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{c}{bc+c+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{bc}{bc+c+1}\right)=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(\left(a-1\right)^2+\left(b-2\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow a^2+1+b^2+4=5+2a+4b\)
\(\Leftrightarrow a^2+4+b^2+16=20+2a+4b\)
Ta có: \(a^2+4\ge4a,b^2+16\ge8b\)
\(\Rightarrow20+2a+4b\ge4a+8b\)
\(\Leftrightarrow a+2b\le10\)
Dấu \(=\)khi \(a=2,b=4\).