Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(a^2+2b+3=a^2+1+2b+2\ge2a+2b+2=2\left(a+c+1\right)\)
\(b^2+2c+3=b^2+1+2c+2\ge2b+2c+2=2\left(b+c+1\right)\)
\(c^2+2a+3=c^2+1+2a+2\ge2c+2a+2=2\left(c+a+1\right)\)
Suy ra \(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{a}{2\left(a+b+1\right)}+\frac{b}{2\left(b+c+1\right)}+\frac{c}{2\left(c+a+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\right)\)
Tương đương \(\frac{3}{2}-\frac{a}{a^2+2b+3}-\frac{b}{b^2+2c+3}-\frac{c}{c^2+2a+3}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\right)\)
Đặt \(M=\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được : \(M=\frac{\left(b+1\right)^2}{\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
Do \(\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+3\)\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2\)
Từ đó \(M\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2}=2\Rightarrow\frac{3}{2}-\frac{a}{a^2+2b+3}-\frac{b}{b^2+2c+3}-\frac{c}{c^2+2a+3}\ge\frac{1}{2}.2=1\)
\(< =>\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Bài toán hoàn tất . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
P=1/(2a+b+c)^2+1/(a+2b+c)^2+1/(a+b+2c) đây là đề đúng nha khi nãy viết sai
Xét vế trái \(\frac{2.a^2}{a+b^2}+\frac{2.b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}=\frac{2a^4}{a^3+a^2.b^2}+\frac{2.b^4}{b^3+c^2.b^2}+\frac{2c^4}{c^3+a^2.c^2}\)
\(\ge2.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\)( Bất đẳng thức Svac-xơ )
Ta có \(a^4+a^2\ge2.a^3\Rightarrow a^3\le\frac{a^4+a^2}{2}\)
Tương tự \(b^3\le\frac{b^4+b^2}{2}\)
\(c^3\le\frac{c^4+c^2}{2}\)
Do đó \(2.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\ge\frac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{a^4+a^2}{2}+\frac{b^4+b^2}{2}+\frac{c^4+c^2}{2}+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\)
\(=\frac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{a^4+b^4+c^4+2a^2c^2+2b^2c^2+2a^2b^2+a^2+b^2+c^2}{2}}\)
\(=\frac{4.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{4.3^2}{3^2+3}=3=a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\)
Vậy \(\frac{2.a^2}{a+b^2}+\frac{2.b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)với \(a^2+b^2+c^2=3\)
Ta có phép biến đổi sau : \(\frac{a^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{\sqrt{ab^2}}{2}=a-\frac{\sqrt{a.b.b}}{2}\ge a-\frac{ab+b}{4}\)
Bằng cách chứng minh tương tự : \(\frac{b^2}{b+c^2}\ge b-\frac{bc+c}{4}\); \(\frac{c^2}{c+a^2}\ge c-\frac{ca+a}{4}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều : \(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\)
\(< =>\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\)
Đến đây ta cần chỉ ra được : \(2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\ge a+b+c\)(*)
Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\left(a+b+c\right)\)
\(< =>ab+bc+ca\le a+b+c\)
Khi đó ta suy ra được : \(2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\ge2\left(a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\right)\)
\(=2\left(a+b+c-\frac{a+b+c}{2}\right)=2\left(\frac{2a+2b+2c-a-b-c}{2}\right)=2.\frac{a+b+c}{2}=a+b+c\)
Vậy bài toán đã được hoàn tất phép chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(\left(1-a^2\right)\left(1-b\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1+a^2b>a^2+b>a^3+b^3\left(1\right)\)
(Vì \(0< a,b< 1\))
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}1+b^2c>b^3+c^3\left(2\right)\\a+c^2a>c^3+a^3\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)< 3+a^2b+b^2c+c^2a\)
\(GT\Rightarrow\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=3\)
Ta có: \(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}\ge4\sqrt[4]{\frac{1}{a^{12}b^4}}=\frac{4}{a^3b}\)
Tương tự: \(\frac{3}{b^4}+\frac{1}{c^4}\ge\frac{4}{b^3c}\) ; \(\frac{3}{c^4}+\frac{1}{a^4}\ge\frac{4}{c^3a}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3b}+\frac{1}{b^3c}+\frac{1}{c^3a}\le\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=3\)
\(VT=\frac{1}{a^3b+c^2+c^2+1}+\frac{1}{b^3c+a^2+a^2+1}+\frac{1}{c^3a+b^2+b^2+1}\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a^3b}+\frac{2}{c^2}+1+\frac{1}{b^3c}+\frac{2}{a^2}+1+\frac{1}{c^3a}+\frac{2}{b^2}+1\right)\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a^3b}+\frac{1}{b^3c}+\frac{1}{c^3a}+2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\right)\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(6+2\sqrt{3\left(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\right)}\right)=\frac{1}{16}\left(6+6\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Ngo Hiệu - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Ta có: \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)};\)\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{c}{abc+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{bc}{abc^2+abc+bc}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{c}{bc+c+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{bc}{bc+c+1}\right)=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1