LN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NM
0
NH
1
PL
20 tháng 10 2020
ta có: \(a^3-3a^2+8a=9\)
\(\Leftrightarrow a^3-3a^2+8a-9=0\)
\(\Leftrightarrow a^3-3a^2+3a-1+5a-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^3+5a-8=0\)(1)
và \(b^3-6b^2+17b=15\)biến đổi tương tự như a, ta được: \(\left(b-2\right)^3+5b-7=0\)(2)
Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: \(\left(a-1\right)^3+\left(b-2\right)^3+5a-8+5a-7=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^3+\left(b-2\right)^3+5\left(a+b-3\right)=0\)(3)
áp dụng hằng đẳng thức \(A^3+B^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)với \(A=a-1\)và \(B=b-2\)
ta được (3) <=> \(\left(a+b-3\right)\left[\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\left(b-2\right)^2\right]+5\left(a+b-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-3\right)\left[\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\left(b-2\right)^2+5\right]=0\)
vì \(\left[\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\left(b-2\right)^2+5\right]\ne0\)
\(\Rightarrow a+b-3=0\Rightarrow a+b=3\)
NH
1
22 tháng 10 2020
Ta có: \(a^3-3a^2+8a=9\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-3a^2+3a-1\right)+5a-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^3+5a-8=0\)
Lại có: \(b^3-6b^2+17b=15\)
\(\Leftrightarrow\left(b^3-6b^2+12b-8\right)+5b-7=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^3+5b-7=0\)
Cộng 2 vế trên lại ta được: \(\left(a-1\right)^3+\left(b-2\right)^3+5a+5b-15=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1+b-2\right)\left[\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\left(b-2\right)^2\right]+5\left(a+b-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-3\right)\left[\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\left(b-2\right)^2+5\right]=0\)
Mà \(\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\left(b-2\right)^2+5\)
\(=\left[\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\frac{1}{4}\left(b-2\right)^2\right]+\frac{3}{4}\left(b-2\right)^2+5\)
\(=\left[a-1-\frac{1}{2}\left(b-2\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(b-2\right)^2+5>0\left(\forall a,b\right)\)
\(\Rightarrow a+b-3=0\Leftrightarrow a+b=3\)
Vậy a + b = 3
23 tháng 2 2022
Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\), khi đó \(xyz=1\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(2+xy+yz+zx+x+y+z\right)}\)
Ta viết lại bất đẳng thức như sau:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(2+xy+yz+zx+x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
Bình phương 2 vế ta được:
\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\ge8\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\left(x+y\right)^2\left(x+\frac{1}{y}\right)^2\ge x+1^4\)hay ta được bất đẳng thức:
\(\left(x+y\right)^2\left(x+xz\right)^2\ge\left(x+1\right)^4\Leftrightarrow x^2\left(x+y\right)^2\left(1+z\right)^2\ge\left(x+1\right)^4\)
Tương tự ta được các bất đẳng thức:
\(y^2\left(y+z\right)^2\left(1+x\right)^2\ge\left(y+1\right)^4;z^2\left(z+x\right)^2\left(1+y\right)^2\ge\left(z+1\right)^4\)
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\(x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\)
\(\ge\left(x+1\right)^4\left(y+1\right)^4\left(z+1\right)^4\)
Hay:
\(\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\)
Mặt khác, ta lại có:
\(\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\ge\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\cdot8\sqrt{xyz}\)
\(=8\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)
Do đó ta được bất đẳng thức:
\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\ge8\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
Bất đẳng thức được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
HH
2
ML
3 tháng 8 2016
Xét phương trình
\(x^3-3x^2+5x-17=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3+2\left(x-1\right)-14=0\text{ }\left(1\right)\)
Chứng minh (1) có 1 nghiệm duy nhất:
+Phương trình bậc ba luôn có tối thiểu 1 nghiệm
+Giả sử (1) có 1 nghiệm là \(x=a\)
Nếu \(x>a\) thì \(x-1>a-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^3>\left(a-1\right)^3\\x-1>a-1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^3+2\left(x-1\right)-14>\left(a-1\right)^3+2\left(a-1\right)-14=0\) => (1) vô nghiệm
Nếu \(x< a\), tương tự, (1) cũng vô nghiệm.
Vậy (1) có duy nhất 1 nghiệm
Xét phương trình
\(y^3-3y^2+5y+11=0\text{ }\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\left(2-y\right)^3-3\left(2-y\right)^2+5\left(2-y\right)-17=0\)
Đây chính là phương trình (1) nhưng với biến \(2-y\) nên có nghiệm \(2-y=a\); mà theo đề bài, nghiệm của (2) là \(y=b\)
Nên \(2-b=a\)
\(\Rightarrow a+b=2\)
N
16 tháng 8 2018
Xét phương trình
x3−3x2+5x−17=0⇔(x−1)3+2(x−1)−14=0 (1)
Chứng minh (1) có 1 nghiệm duy nhất:
+Phương trình bậc ba luôn có tối thiểu 1 nghiệm
+Giả sử (1) có 1 nghiệm là x=a
Nếu x>a thì x−1>a−1⇒{
| (x−1)3>(a−1)3 |
| x−1>a−1 |
⇒(x−1)3+2(x−1)−14>(a−1)3+2(a−1)−14=0 => (1) vô nghiệm
Nếu x<a, tương tự, (1) cũng vô nghiệm.
Vậy (1) có duy nhất 1 nghiệm
Xét phương trình
y3−3y2+5y+11=0 (2)⇔(2−y)3−3(2−y)2+5(2−y)−17=0
Đây chính là phương trình (1) nhưng với biến 2−y nên có nghiệm 2−y=a; mà theo đề bài, nghiệm của (2) là y=b
Nên 2−b=a
⇒a+b=2