LT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HH
0
HT
1
19 tháng 6 2017
ta có : \(a^2+b^2+c^2+42=2a+8b+10c\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+42-2a-8b-10c=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-8b+16\right)+\left(c^2-10c+25\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-1\right)^2+\left(b-4\right)^2+\left(c-5\right)^2=0\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\\\left(b-4\right)^2\ge0\forall b\\\left(c-5\right)^2\ge0\forall c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) \(\left(a-1\right)^2+\left(b-4\right)^2+\left(c-5\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-4\right)^2=0\\\left(c-5\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-4=0\\c-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=4\\c=5\end{matrix}\right.\)
khi đó \(a+b+c=1+4+5=10\)
NT
2
TN
4 tháng 10 2016
a2 + b2 + c2 + 42=2a +8b +10c
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+42-2a-8b-10c=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-8b+16\right)+\left(c^2-10c+25\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-4\right)^2+\left(c-5\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-4=0\\c-5=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=4\\c=5\end{cases}}\)
Khi đó \(a+b+c=1+4+5=10\)
18 tháng 10 2016
cho x<0 thỏa mãn \(\frac{1}{x^2+9x+20}\)+\(\frac{1}{x^2+11x+30}\)+\(\frac{1}{x^2+13x+42}\)=\(\frac{1}{18}\) tìm x=?
mn giải giúp mk với
H
0
TA
1 tháng 5 2017
Với mọi x, y > 0 ta luôn có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y
Ta có: \(\frac{2}{2a+b+c}=\frac{1}{2}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(=\frac{1}{8}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (1)
Tương tự \(\frac{2}{2b+c+a}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2) và \(\frac{2}{2c+a+b}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\) (3)
Cộng (1), (2) và (3) ta được: \(A\le\frac{1}{8}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)
15 tháng 7 2017
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-5\right)^2+12=0\)
Khi \(a=1;b=2;c=5\)
Good luck :3
MH
16 tháng 9 2023
Ta có: \(\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)
\(\Rightarrow bc+ca=2ca\)
\(P=\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}=\dfrac{ac+bc}{2ca-bc}+\dfrac{ca+ab}{2ca-ab}\)
\(=\dfrac{ca+bc}{ab}+\dfrac{ca+ab}{bc}=\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}=\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\)
Ta có :
\(\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{a+c}\left(\text{Svácxơ}\right)\)\(\Rightarrow c+a\ge2b\)
Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương
\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}.\dfrac{a}{c}}=2\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2b}{b}+2=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
KN
21 tháng 5 2020
Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\)
Ta đi chứng minh: \(t=a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\)(*)
Thật vậy: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)(**)
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: \(a^3+ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)(do a,b dương) (1)
Tương tự ta có: \(b^3+bc^2\ge2b^2c\left(2\right);c^3+2ca^2\ge2c^2a\left(3\right)\)
Cộng theo vế của các BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge2\left(a^2b+2b^2c+2c^2a\right)\)(***)
Từ (**) và (***) suy ra \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\). Do đó (*) đúng.
Ta có: \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=t+\frac{9-t}{2t}\)với \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Bài toán trở thành tìm GTNN của \(f\left(t\right)=t+\frac{9-t}{2t}\)với \(t\ge3\)
Ta chứng minh \(f\left(t\right)\ge f\left(3\right)\Leftrightarrow t+\frac{9-t}{2t}\ge4\Leftrightarrow\frac{\left(t-3\right)\left(2t-3\right)}{2t}\ge0\)(đúng với mọi \(t\ge3\))
Vậy \(MinP=4\)khi t = 3 hay a = b = c = 1
T
12 tháng 9 2018
Xét vế trái \(\frac{2.a^2}{a+b^2}+\frac{2.b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}=\frac{2a^4}{a^3+a^2.b^2}+\frac{2.b^4}{b^3+c^2.b^2}+\frac{2c^4}{c^3+a^2.c^2}\)
\(\ge2.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\)( Bất đẳng thức Svac-xơ )
Ta có \(a^4+a^2\ge2.a^3\Rightarrow a^3\le\frac{a^4+a^2}{2}\)
Tương tự \(b^3\le\frac{b^4+b^2}{2}\)
\(c^3\le\frac{c^4+c^2}{2}\)
Do đó \(2.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\ge\frac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{a^4+a^2}{2}+\frac{b^4+b^2}{2}+\frac{c^4+c^2}{2}+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\)
\(=\frac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{a^4+b^4+c^4+2a^2c^2+2b^2c^2+2a^2b^2+a^2+b^2+c^2}{2}}\)
\(=\frac{4.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{4.3^2}{3^2+3}=3=a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\)
Vậy \(\frac{2.a^2}{a+b^2}+\frac{2.b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)với \(a^2+b^2+c^2=3\)
PN
7 tháng 10 2020
Ta có phép biến đổi sau : \(\frac{a^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{\sqrt{ab^2}}{2}=a-\frac{\sqrt{a.b.b}}{2}\ge a-\frac{ab+b}{4}\)
Bằng cách chứng minh tương tự : \(\frac{b^2}{b+c^2}\ge b-\frac{bc+c}{4}\); \(\frac{c^2}{c+a^2}\ge c-\frac{ca+a}{4}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều : \(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\)
\(< =>\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\)
Đến đây ta cần chỉ ra được : \(2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\ge a+b+c\)(*)
Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\left(a+b+c\right)\)
\(< =>ab+bc+ca\le a+b+c\)
Khi đó ta suy ra được : \(2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\ge2\left(a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\right)\)
\(=2\left(a+b+c-\frac{a+b+c}{2}\right)=2\left(\frac{2a+2b+2c-a-b-c}{2}\right)=2.\frac{a+b+c}{2}=a+b+c\)
Vậy bài toán đã được hoàn tất phép chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Không ghi lại đề
\(a^2-2a+1+b^2-8b+16+c^2-10c+25=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-4\right)^2+\left(c-5\right)^2=0\)
Suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=4\\c=5\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(a+b+c=1+4+5=10\)