Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
+)\(\frac{3}{4}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge abc\)
+) \(P=8abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(32abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)-24abc\)
\(\ge4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}-24abc\ge4\sqrt[4]{\frac{32}{\frac{1}{8}}}-3=16-3=13\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
ta có \(T=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a^2}{2+a^2}+1-\frac{b^2}{2+b^2}+1-\frac{c^2}{2+c^2}\right)=\frac{1}{2}\left[3-\left(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\right)\right]\)
ta chứng minh rằng \(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\ge1\)khi đó ta sẽ có \(T\le1\)
thật vậy, áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz ta có \(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\)
ta cần chứng minh rằng \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge a^2+b^2+c^2+6\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
thật vậy, từ giả thiết ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a+b+c\Leftrightarrow ab+bc+ca\le abc\left(a+b+c\right)\left(1\right)\)
mà \(abc\left(a+b+c\right)\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\)
từ (1) ta có \(\frac{ab+bc+ca}{3}\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\left(đpcm\right)\)
vậy maxT=1 khi a=b=c=1
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
sửa: chứng minh \(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{3}{2}\)
áp dụng bđt Cauchy ta có
\(\frac{1}{1+ab}=1-\frac{1}{1+ab}\ge1-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=1-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+bc}\ge1-\frac{\sqrt{bc}}{2}\\\frac{1}{1+ca}\ge1-\frac{\sqrt{ca}}{2}\end{cases}}\)
cộng theo vế các bđt trên và áp dụng bđt Cauchy ta được
\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
\(\ge3-\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\right)=3-\frac{a+b+c}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+ab=1+bc=1+ca\\a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
a)\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}\cdot8ab}-\left(a+b\right)^2=7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_B=7\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b)\(C\ge\frac{1}{1-3ab\left(a+b\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{16}{1-3ab\left(a+b\right)+3ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^3}{4}}\ge16+4=20\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_C=20\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Ta có:
\(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)
Hoàn toàn tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\);
\(\frac{1}{\left(c+b+\sqrt{\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\)
\(\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Do đó:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\)
\(\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh, bất đẳng thức xày ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sum\frac{2}{a^2+b^2+2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow\sum\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(\sum\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh \(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+a^2\right)}+\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\) (1)
Mà \(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge ac+b^2\)
\(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge a^2+bc\) ; \(\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge ab+c^2\)
\(\Rightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng nên ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)