Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(b\ge a\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{b}{c}\ge\frac{a}{c}\left(\text{ c dương}\right)\Leftrightarrow\frac{c}{b}\ge\frac{c}{a}\) (1)
\(c\ge b\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{c}{a}\ge\frac{b}{a}\left(a\text{ }dương\right)\) (2)
\(c\ge a\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{c}{b}\ge\frac{a}{b}\left(b\text{ }\text{ dương}\right)\Leftrightarrow\frac{b}{c}\ge\frac{b}{a}\) (3)
Từ (1) , (2) và (3) ta có : \(\frac{c}{a}+\frac{b}{c}\ge\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\)
Ta có: \(a< b\Leftrightarrow a+c< b+c\) (1)
Lại có: \(c< d\Leftrightarrow b+c< b+d\) (2)
Từ (1),(2) suy ra:
\(a+c< b+d\)
Do a,b đều dương nên a^3 + b^3 dương => a - b dương
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với a - b ta được :
\(a^2+b^2+ab<1\)
<=> \(\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)
<=> \(a^3-b^3=a^3+b^3\)
do b dương nên b^3 > 0 => bất đẳng thức cuối cùng đúng
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng (đpcm)
bổ sung : do a - b dương nên khi nhân a - b vào cả hai vế thì BĐT không đổi chiều.
Ta có:
\(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ac+2bc-2ab\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}< 2\)
\(\Rightarrow2ac+2bc-2ab< 2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Ta có: \(0\le\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)(1)
theo đề bài:
\(a^2+b^2+ab+bc+ac< 0\)
=> \(2\left(a^2+b^2+ab+bc+ac\right)< 0\)
=> \(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< 0\)(2)
Từ (1); (2) =>\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< \) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
=> \(a^2+b^2< c^2\)
Ta có : \(ac+bd\ge bc+ad\)
\(\Leftrightarrow ac+bd-bc-ad\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ac-bc\right)-\left(ad-bd\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-b\right)-d\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)\ge0\)( luôn đúng ) ( do a,b,c,d dương và \(a\ge b\), \(c\ge d\))
Vậy ....
a)Do bd>0 (do b>0, d>0) nên nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) thì ad<bc
b)Ngược lại, nếu ad<bc thì \(\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
Nhân c vào 2 vế BĐT a<b, ta được:
ac<bc (1)
Nhân b vào 2 vế BĐT c<d, ta được:
bc<bd (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ac<bd (tính chất bắc cầu)