Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta khai triển VT trước
\(VT=\frac{1-b-c+bc}{b+c}+\frac{1-c-a+ca}{c+a}+\frac{1-a-b+ab}{a+b}=\frac{\left(1-b\right)-c\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)-a\left(1-c\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)-b\left(1-a\right)}{1-c}=\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\)Với a,b,c luôn dương vào a+b+c=1 nên a,b,c<1\(\Rightarrow\)1-a,1-b,1-c>0
Áp dụng Cosi có \(\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}\ge2\left(1-c\right)\left(1\right)\).Tương tự: \(\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\ge2\left(1-a\right)\left(2\right)\)
\(\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\ge2\left(1-b\right)\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) có \(2VT\ge2\left(3-a-b-c\right)\Leftrightarrow VT\ge3-1=2\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{2a+b+c}\)(1)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{a+2b+c}\left(2\right)\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{a+b+2c}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(16\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\le4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\)
Ta có:
\(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ac+2bc-2ab\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}< 2\)
\(\Rightarrow2ac+2bc-2ab< 2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Ta có:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)
\(< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => đpcm
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>1\)
Ta luôn có phân số \(\frac{m}{n}< \frac{m+z}{n+z}\)với \(m>n>0;z>0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+b+c+a+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Vậy \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
a+bc/b+c + b+ca/c+a + c+ab/a+b
ta có: a+bc/c+b = a+(1-a-c).c/(1-a-c)+c = a+c-ac-c^2/1-a = (a+c)-c(a+c)/1-a = (a+c)(1-c)/1-a = (1-b)(1-c)/1-a
tương tự với các phân số còn lại:
ta đc:H=(1-b)(1-c)/1-a + (1-a)(1-c)/1-b + (1-a)(1-b)/1-c
đặt 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z =>
yz/x + xz/y + xy/z
áp dụng bđt cô-sin =>
yz/x + xz/y >= 2 căn yz/x . xz/y=2z
tương tự => xz/y + xy/z >= 2x và xy/z + yz/x >= 2y
=> 2H >= 2(x+y+z) = 2(1-a + 1-b + 1-c)=2(3 - (a+b+c))=2(3-1)=2.2=4
=> H>= 2
=> bt trên >= 2
a+bc/b+c + b+ca/c+a + c+ab/a+b ta có: a+bc/c+b = a+(1-a-c).c/(1-a-c)+c = a+c-ac-c^2/1-a = (a+c)-c(a+c)/1-a = (a+c)(1-c)/1-a = (1-b)(1-c)/1-a tương tự với các phân số còn lại: ta đc:H=(1-b)(1-c)/1-a + (1-a)(1-c)/1-b + (1-a)(1-b)/1-c đặt 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z => yz/x + xz/y + xy/z áp dụng bđt cô-sin => yz/x + xz/y >= 2 căn yz/x . xz/y=2z tương tự => xz/y + xy/z >= 2x và xy/z + yz/x >= 2y => 2H >= 2(x+y+z) = 2(1-a + 1-b + 1-c)=2(3 - (a+b+c))=2(3-1)=2.2=4 => H>= 2 => bt trên >= 2
Ta có:
\(\frac{ab}{a+b}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\) (1)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\\\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\end{cases}}\)
Cộng 3 cái trên vế theo vế ta được
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
xin lỗi chị em mới học lớp 5 nên ko biết
Chúc chị luôn luôn học giỏi
(=^.^=) (>^.^<)
Ta có : \(b\ge a\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{b}{c}\ge\frac{a}{c}\left(\text{ c dương}\right)\Leftrightarrow\frac{c}{b}\ge\frac{c}{a}\) (1)
\(c\ge b\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{c}{a}\ge\frac{b}{a}\left(a\text{ }dương\right)\) (2)
\(c\ge a\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{c}{b}\ge\frac{a}{b}\left(b\text{ }\text{ dương}\right)\Leftrightarrow\frac{b}{c}\ge\frac{b}{a}\) (3)
Từ (1) , (2) và (3) ta có : \(\frac{c}{a}+\frac{b}{c}\ge\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\)