Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^2+b^2+c^2+d^2=13\)
\(\Rightarrow a^2\le13\)
\(\Leftrightarrow a\le\sqrt{13}\approx3,61\) (1)
Lại có \(a+b+c+d=7\)
\(\Leftrightarrow a\le7\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a_{max}=3\).
Đề thi học kỳ 1 trường Ams
**Min
Từ \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a^2\le1;b^2\le1;c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\le1;b\le1;c\le1\Rightarrow a^2\le a;b^2\le b;c^2\le c\)
Khi đó:
\(\sqrt{a+b^2}\ge\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{b+c^2}\ge\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c+a^2}\ge\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)
Ta có:
\(\sqrt{1-c^2}\ge1-c^2\Leftrightarrow1-c^2\ge1-2c^2+c^4\Leftrightarrow c^2\left(1-c^2\right)\ge0\left(true!!!\right)\)
Tương tự cộng lại:
\(P\ge3-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)
dấu "=" xảy ra tại \(a=b=0;c=1\) and hoán vị.
**Max
Có BĐT phụ sau:\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\left(ezprove\right)\)
Áp dụng:
\(\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\)
\(\le\sqrt{3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\sqrt{3\left(a+b+c\right)+3}\)
\(\le\sqrt{3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\right)}=\sqrt{3\cdot\sqrt{3}+3}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
c) Có \(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=-1+\frac{x^2+ax+b+1}{x^2+1}\);
\(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=4-\frac{4x^2-ax-b+4}{x^2+1}\)
Để Min P = 1 và Max P = 4 thì
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+b+1=\left(x+c\right)^2\\4x^2-ax-b+4=\left(2x+d\right)^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(a-2c\right)+\left(b+1-c^2\right)=0\left(1\right)\\x\left(-a-4d\right)+\left(-b+4-d^2\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=2c\\b=c^2-1\end{cases}}\)(3)
(2) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=-4d\\b=4-d^2\end{cases}}\)(4)
Từ (3) (4) => d = 1 ; c = -2 ; b = 3 ; a = -4
Vậy \(P=\frac{-4x+3}{x^2+1}\)
ĐK \(x\ge y\)
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x-y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
HPT <=> \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4=82\\a-2b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2b+1\right)^4+b^4=82\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4+32b^3+24b^2+8b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4-17b^3+49^3-49b^2+73b^2-73b+81b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(b-1\right)\left(17b^3+49b^2+73b+81\right)=0\left(1\right)\\a=2b+1\end{cases}}\)
Giải (1) ; kết hợp điều kiện => b = 1
=> Hệ lúc đó trở thành \(\hept{\begin{cases}b=1\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=3\\\sqrt{x-y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=9\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=10\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4)
Ta có: \(\left(b+c+d\right)^2=b^2+c^2+d^2+2\left(ab+bc+ca\right)\le3\left(b^2+c^2+d^2\right)\)
Thay giả thiết vào ta có:
\(\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\Leftrightarrow4a^2-14a+10\le0\Rightarrow1\le a\le\frac{5}{2}\)
Vậy Min a=1 khi b=c=d=2
Max a=5/2 khi b=c=d=3/2