Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
Gọi \(d=gcd\left(a;b\right)\) khi đó \(a=dm;b=dn\) với \(\left(m;n\right)=1\)
Ta có:
\(c+\frac{1}{b}=a+\frac{b}{a}\Leftrightarrow c=\frac{b}{a}+a-\frac{1}{b}=\frac{dn}{dm}+dm-\frac{1}{dn}\)
\(=\frac{n}{m}+dm-\frac{1}{dn}=\frac{dn^2+d^2m^2n-m}{dmn}\)
Khi đó \(dn^2+d^2m^2n-m⋮dmn\Rightarrow m⋮n\) mà \(\left(m;n\right)=1\Rightarrow n=1\Rightarrow m=d\)
Khi đó \(ab=dm\cdot dn=d^3\) là lập phương số nguyên dương
ko mất tính tổng quát ta giả sử a<b<c<d
+ a=1 thì hiển nhiên
+TH: a>1
a+d và b+c là các lũy thừa của 2 nên $a=2^{x}-mvàvàd=2^{y}+m$
a+d là lũy thừa của 2 nên x=y do đó $a=2^{x}-mvàvàd=2^{x}+m$
tương tự với b+c có $b=2^{y}-nvàvàc=2^{y}+n$
từ điều kiện a<b<c<d bạn có vô lý