Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Svac - xơ:
\(\frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)\(=\frac{1^2}{a^2+2ab}+\frac{1^2}{b^2+2ac}+\frac{1^2}{c^2+2ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)(Vì \(a+b+c\le1\))
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
a2 + b2 + c2 < 2
<=> a2 + b2 + c2 < a+ b + c
<=> (a2 - a )+ (b2 - b )+ (c2 - c) < 0
<=> a.(a - 1) + b.(b -1) + c.(c -1) < 0 (*)
Điều này luôn đúng với mọi 0<a<1; 0<b<1; 0<c<1 vì 0<a<1 => a- 1 < 0 => a.(a-1) < 0
tương tự b(b - 1) < 0; c(c -1) < 0
Vậy (*) => đpcm
Lời giải:
Ta có:
$P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=9-2(ab+bc+ac)$
Vì $a,b,c\leq 2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8\leq 0$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4(a+b+c)+abc-8$
Mà $4(a+b+c)+abc-8=4+abc\geq 4$ do $a,b,c\geq 0$
Do đó $2(ab+bc+ac)\geq 4$
$\Rightarrow P=9-2(ab+bc+ac)\leq 5$
Vậy $P_{\max}=5$. Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị.
Vì \(0\le a,b,c\le2\)nên:
\(abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow abc+2bc-abc+2ac-4c+2ab-4b-4a+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2bc+2ac+2ab-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)-12+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge4\)
Do đó: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)\le3^2-4=5\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\)(a,b,c) là các hoán vị của (0,1,2))