Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
Theo đề bài ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)
(a+b)^2>=4ab
1>=4ab
ab<=1/4
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^2-ab+b^2=a^2+2ab+b^3-3ab
=(a+b)^2-3ab=1-3ab>=1-3.1/4=1/4
suy ra đpcm
1/a+1/b+1/c >= 9
<=>(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) >= 9(a+b+c)=9 (do a+b+c=1)
<=>3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c)
áp dụng bđt côsi cho các số dương a/b,b/a,b/c,c/b,c/a,a/c
a/b+b/a >= 2.căn a/b . b/a =2
Tương tự b/c+c/b >= 2,c/a+a/c >= 2
=>3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c) >= 3+2+2+2=9
=>đpcm
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dưới dạng phân số ta có
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)
<=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (vì a+b+c=1) (đpcm)
Cách khác dùng AM-GM
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=3\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)
Tiếp tục áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)(đpcm)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-shwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy...
Theo bất đẳng thức Cô-sy ta được:
\(a+b+c\ge3^3\sqrt{abc}\)(1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3^3\sqrt{\frac{1}{abc}}\)(2)
Nhân (1) (2) vế heo vế ta được
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)
biến đổi cách này dễ hiểu hơn nề:))
vì a+b+c=1 nên
\(\frac{1}{a}\)=\(\frac{a+b+c}{a}\)= 1+ \(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)
\(\frac{1}{b}\)=\(\frac{a+b+c}{b}\)= 1+ \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{c}{b}\)
\(\frac{1}{c}\)=\(\frac{a+b+c}{c}\)= 1+ \(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)
ta có \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 1+1+1+(\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{c}{a}\))+(\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\))
ta lại có \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)2ab \(\Leftrightarrow\)(a-b)^2\(\ge\)0 luôn đúng
tương tự ta có a/c+c/a >= 2 và b/c+c/b >= 2
vậy 1/a+1/b+1/c>=9
Với x,y,z > 0
Xét : (1/x + 1/y + 1/z).(x+y+z)
>=3 \(\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\). 3\(\sqrt[3]{xyz}\) = 9
=> 1/x + 1/y + 1/z >= 9/x+y+z = 9/1 = 9
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1/3
Tk mk nha
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)(đúng với a, b, c dương)
Áp dụng BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=9\)
coi lại dấu " = " xảy ra khi nào dùm t ... , bài lm của m hay mak kl như cái qq ...
\(\frac{1}{a}=\frac{a+b+c}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\)
\(\frac{1}{b}=\frac{a+b+c}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)
\(\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si) cho hai số dương,ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)