Question

[Tường Nguyễn Thế]

Cho \(2^n=10a+b\). Chứng minh rằng nếu n>3 thì tích ab chia hết cho 6 với a, b, n là số nguyên dương và b<10

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Với \(n>3\Rightarrow 10a+b=2^n\vdots 2\). Mà \(10a\vdots 2\) nên suy ra \(b\vdots 2\)

Do đó \(ab\vdots 2(1)\)

----------------------------

Vì $b$ là số nguyên dương chẵn và thỏa mãn \(b< 10\Rightarrow b\in\left\{2;4;6;8\right\}\)

TH1: Nếu \(b=2\Rightarrow 2^n=10a+b=10a+2\)

Một số chính phương chia 5 chỉ có thể có dư là \(0,1,4\) mà $10a+2$ chia $5$ dư $2$ nên $n$ không thể là số chẵn.

Do đó $n$ lẻ

\(\Rightarrow 10a+2=2^n\equiv (-1)^n\equiv -1\equiv 2\pmod 3\)

\(\Rightarrow 10a\equiv 0\pmod 3\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\)

\(\Rightarrow ab\vdots 3\)

TH2: \(b=4\Rightarrow 2^n=10a+4\)

\(\Rightarrow 2^n-4=10a\vdots 5\) (*)

Nếu \(n\) lẻ :

\(2^n-4=2^{2k+1}-4=4^k.2-4\equiv (-1)^k.2-4\equiv -2,-6\not\equiv 0\pmod 5\)

(trái với (*))

Do đó $n$ chẵn.

\(\Rightarrow 10a+4=2^n\equiv (-1)^n\equiv 1\pmod 3\)

\(\Rightarrow 10a\equiv -3\equiv 0\pmod 3\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\)

Do đó \(ab\vdots 3\)

TH3: \(b=6\vdots 3\Rightarrow ab\vdots 3\)

TH4: \(b=8\Rightarrow 10a+8=2^n\)

Vì \(10a+8=5(2a+1)+3\) chia 5 dư 3 nên $10a+8$ không thể là số chính phương

Do đó \(n\) lẻ \(\Rightarrow 10a+8=2^n\equiv (-1)^n\equiv -1\pmod 3\)

\(\Rightarrow 10a\equiv -9\equiv 0\pmod 3\)

\(\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\Rightarrow ab\vdots 3\)

Vậy trong mọi TH thì \(ab\vdots 3(2)\)

Từ (1);(2) suy ra \(ab\vdots 6\)

Ta có đpcm.