TT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 12 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\)
\(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{1}{16a^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{1}{16a^2}}=\frac{3}{4}(1)\)
\(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{16b^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\frac{1}{16b^2}}=\frac{3}{4}(2)\)
\(\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\geq \frac{15}{16}.2\sqrt{\frac{1}{a^2}.\frac{1}{b^2}}=\frac{15}{8ab}\geq \frac{15}{8.\frac{1}{4}}=\frac{15}{2}(3)\)
Lấy \((1)+(2)+(3)\Rightarrow a+b+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{15}{2}=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
LN
0
1 tháng 3 2018
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)(1)
\(\dfrac{b^3}{b^2+1}=\dfrac{b\left(b^2+1\right)-b}{b^2+1}=b-\dfrac{b}{b^2+1}\ge b-\dfrac{b}{2b}=b-\dfrac{1}{2}\)(2)
\(\dfrac{1}{a^2+1}=\dfrac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)(3)
Cộng theo vế:
\(A\ge a+b+1-\dfrac{b}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a+b+1}{2}\left(đpcm\right)\)
HV
1
N
6 tháng 10 2017
Áp dụng AM-GM:
\(\dfrac{1}{a\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{b\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{c\left(c+a\right)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+bc\right)\left(bc+ac\right)\left(ac+ab\right)}}\ge\dfrac{3}{\dfrac{1}{3}.2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{27}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 2 2020
1. Không dịch được đề
2. \(\left(m+2\right)x^2-6x+1\le0\) \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2< 0\\\Delta'=9-\left(m+2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\m\ge7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn
3. \(P=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{4ab}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{ab\left(a^2+b^2\right)}{4ab\left(a^2+b^2\right)}}+\frac{6ab}{4ab}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
23 tháng 12 2016
a)\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}\cdot8ab}-\left(a+b\right)^2=7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_B=7\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b)\(C\ge\frac{1}{1-3ab\left(a+b\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{16}{1-3ab\left(a+b\right)+3ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^3}{4}}\ge16+4=20\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_C=20\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Áp dụng bất đửng thức cô si cho các cặp số dương ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}ab+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{ab\times\dfrac{a}{b}}=2a\\ab+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{ab\times\dfrac{b}{a}}=2b\\\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\times\dfrac{b}{a}}=2\end{matrix}\right.\)
cộng theo vế 3 bđt trên ta được
\(2\left(ab+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge a+b+1\)
Trịnh Thị Giang đề sai hay bài bạn sai
mình không biết ai đúng ai sai nhưng phải có một cái sai