Question

[Kakashi]

Cho 2 đường tròn (O1),(O2) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng tiếp xúc (O1),(O2) lần lượt tại B và C.

a) chứng minh tam giác ABC vuông

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O1),(O2)
c) Chứng minh \(O_1M\perp O_2M\)

d) Các tia BA, CA cắt (O2),(O1) lần lượt tại D và E. Chứng minh diện tích tam giác ADE bằng diện tích tam giác ABC

Answer 1

[Kakashi]

Ai giúp câu a, câu d vs

Answer 2

[Lê Tài Bảo Châu]

( Mình sẽ làm tắt nha bạn, mấy chỗ đấy nó dễ rùi nếu ko hiểu thì cmt nhé )

a) Ta có: \(O_1B//O_2C\)( cùng vuông góc với BC )

\(\Rightarrow\widehat{BO_1A}+\widehat{CO_2A}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\left(180^0-2\widehat{BAO_1}\right)+\left(180^0-2\widehat{CAO_2}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\left(\widehat{BAO_1}+\widehat{CAO_2}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAO_1}+\widehat{CAO_2}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)

=> tam giác ABC vuông tại A

b) \(\widehat{O_1BA}+\widehat{MBA}=\widehat{O_1AB}+\widehat{BAM}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{O_1AM}=90^0\)

\(\Rightarrow AM\perp AO_1\)

=> AM là tiếp tuyến của \(\left(O_1\right)\)

CMTT : AM là tiếp tuyến của \(\left(O_2\right)\)

=> AM là tiếp tuyến chung của \(\left(O_1\right);\left(O_2\right)\)

+) Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{BMO_1}=\widehat{AMO_1}\\\widehat{CMO_2}=\widehat{AMO_2}\end{cases}}\)

Ta có; \(\widehat{BMO_1}+\widehat{AMO_1}+\widehat{CMO_2}+\widehat{AMO_2}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\left(\widehat{O_1AM}+\widehat{AMO_2}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{O_1AM}+\widehat{AMO_2}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{O_1MO_2}=90^0\)

\(\Rightarrow O_1M\perp O_2M\)

d) Ta có: \(\widehat{O_1BA}=\widehat{O_1AB}=\widehat{O_2AD}=\widehat{O_2DA}\)

\(\widehat{\Rightarrow O_1BA}=\widehat{O_2DA}\)mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow O_1B//O_2D\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AO_1}{AO_2}\left(1\right)\)

CMTT \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AO_1}{AO_2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\)

\(\Rightarrow AB.AC=AD.AE\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AD.AE\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ADE}=S_{\Delta ABC}\)