A
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
N
25 tháng 10 2019
a.\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)(LĐ).
Vậy ta có đpcm.
b. \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)
Vậy ta có đpcm.
#Walker
11 tháng 6 2017
a) \(\left(x\right)^2+2\left(x\right)\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
Nên \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)
b) \(\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+8y+1\right)+\left(z^2-6z+9\right)+4\)
\(=\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+4\)
Vì \(\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\forall x,y,z\)
Nên \(\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+4>0\forall x,y,z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
OV
16 tháng 6 2020
Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
⇒\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z
T
13 tháng 10 2019
Bài 1 a chưa nghĩ ra. Thấy cái |x| hơi lạ.. Mà mình cũng ko chắc câu 1 b đâu nha:v
1b) \(B=\left[\left(x-1\right)\left(x-4\right)\right]\left[\left(x-2\right)\left(x-3\right)\right]+15\)
\(=\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)+15\)
Đặt \(x^2-5x+5=t\)
\(B=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+15=t^2+14\ge14\)
Đẳng thức xảy ra khi \(t=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{5+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy ....
Bài 2: a)BĐT \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1
b) \(x^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\in\mathbb{R}\)
Ta có đpcm.
MT
15 tháng 10 2019
a) \(A=x^2+2\left|x\right|+2\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge0;\forall x\\2\left|x\right|\ge0;\forall x\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+2\left|x\right|\ge0;\forall x\)
\(\Rightarrow x^2+2\left|x\right|+2\ge0+2;\forall x\)
Hay \(A\ge2;\forall x\)
Dấu "="xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)
Vậy MIN A=2 \(\Leftrightarrow x=0\)
23 tháng 6 2018
Bài 1 : Tạm thời ko biết giải -_-
Bài 2 :
\(a)\) Đặt \(A=x^2+x+1\) ta có :
\(A=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\)
\(A=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\)
Vậy \(A>0\) với mọi x, y
\(b)\) Đặt \(B=-4x^2-4x-2\) ta có :
\(-B=4x^2+4x+2\)
\(-B=\left(4x^2+4x+1\right)+1\)
\(-B=\left(2x+1\right)^2+1\ge1\)
\(B=-\left(2x+1\right)^2-1\le-1< 0\)
Vậy \(B< 0\) với mọi x, y
\(c)\) Đặt \(C=x^2+xy+y^2+1\) ta có :
\(8C=8x^2+8xy+8y^2+8\)
\(8C=\left(4x^2+8xy+4y^2\right)+4x^2+4y^2+1\)
\(8C=\left(2x+2y\right)^2+\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+1\ge1\)
\(C=\frac{\left(2x+2y\right)^2+\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+1}{8}\ge\frac{1}{8}>0\)
Vậy \(C>0\) với mọi x, y
Chúc bạn học tốt ~
LN
20 tháng 6 2019
2) Có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow VT=4\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow VT=4\left(ab\right)^2+4\left(ac\right)^2+4\left(bc\right)^2\)
Có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\Leftrightarrow2ab=c^2-a^2-b^2\)
Tương tự:...
\(VT=\text{Σ}_{cyc}\left(c^2-a^2-b^2\right)^2=2\left(a^4+b^4+c^4\right)=VP\)
Bạn ơi thiếu điều kiện của x,y rồi. Nếu không thì sửa đề : chứng minh B không âm với mọi x,y
\(B=x^2-xy+y^2=\left(x^2-2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\ge0.\)
Dấu '=' xảy ra (hay B=0) khi \(\hept{\begin{cases}\frac{3y^2}{4}=0\\\left(x-\frac{y}{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=0\)
Cm: B dương
B = x2 - 2xy + y2 > 0 vì (x - y)2 \(\ge\)0
Bạn ơi đề sai nhé, phải là x2 - 2xy + y2