K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
19 tháng 8 2020
Bài 1 :
a) \(P=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+1}\)
\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right).\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}\)
\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}+1}{x}\)
b) \(P>\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{x}>\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{x}-\frac{1}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1-2x}{x}>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2x+1>0\left(x>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+x^2-2x+1-x^2>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+x^2+\left(x-1\right)^2>0\left(\forall x>0\right)\)
Vậy P > 1/2 với mọi x> 0 ; x khác 1
19 tháng 8 2020
Bài 2 :
a) \(K=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{a-\sqrt{a}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}+a}+\frac{2}{a-1}\right)\)
\(K=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{2}{a-1}\right)\)
\(K=\frac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{a-1+2\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(K=\frac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\sqrt{a}\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{a-1+2a+2\sqrt{a}}\)
\(K=\frac{\left(a-1\right)^2}{3a+2\sqrt{a}-1}\)
b) \(a=3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)( thỏa mãn ĐKXĐ )
Thay a vào biểu thức K , ta có :
\(K=\frac{\left(3+2\sqrt{2}-1\right)^2}{3\left(3+2\sqrt{2}\right)+2\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}-1}\)
\(K=\frac{\left(2+2\sqrt{2}\right)^2}{9+6\sqrt{2}+2\left|\sqrt{2}+1\right|-1}\)
\(K=\frac{\left(2+2\sqrt{2}\right)^2}{8+6\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2}\)
\(K=\frac{\left(2+2\sqrt{2}\right)^2}{10+8\sqrt{2}}\)
N
12 tháng 12 2016
ta có:\(\left(a+2b\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}.\sqrt{2}b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)\)( bđt bunhiacopxki)
\(\left(a+2b\right)^2\le3.3c^2=9c^2\)→\(a+2b\le3c\)
lại có:\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\)
dấu = xảyra khi.... a+2b2=3c2(:v)
MT
22 tháng 8 2015
áp dụng BĐT Cô - si ta được:
\(a+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}\)(1)
\(b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{b}\)(2)
Công hai vế (1) và (2) ta được:
\(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(điều phải chứng minh)
Dấu"=" xảy ra khi a=b
DN
21 tháng 5 2019
Đặt t = ab +bc+ ac => a2+ b2+ c2=1 - 2t
theo BĐT AM-GM : ab + bc +ac \(\le\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}=a^2+b^2+c^2\)
suy ra : t = ab +bc+ ac = \(\frac{2\left(ab+bc+ac\right)+\left(ab+bc+ac\right)}{3}\le\frac{2\left(ab+bc+ac\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Từ đó ta đã đưa bài toán trên về dạng đơn giản hơn : CMR : \(\frac{3}{t}+\frac{2}{1-2t}\ge14\)(Với \(0\le t\le\frac{1}{3}\))
\(\Leftrightarrow3\left(1-2t\right)+2t\ge14\left(1-2t\right)\)
\(\Leftrightarrow3-4t\ge14-28t^2\Leftrightarrow3-18t+28t^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(1-3t\right)^2+t^2\ge0\)(Luôn đúng )
=> ĐPCM
Dấu = không xảy ra.
ML
18 tháng 7 2015
\(VP=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)
\(VP^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}+2\sqrt{\frac{\left(a+\sqrt{a^2-b}\right)\left(a-\sqrt{a^2-b}\right)}{2.2}}\)
\(=a+\sqrt{\left[a^2-\left(a^2-b\right)\right]}=a+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow VP=\sqrt{a+\sqrt{b}}=VT\)
(=) \(a^2+1\ge2a\) (nhân 2 vế cho a )
(=) \(\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a khác 0 )
=> đpcm
\(=a^2+1>2a\) ( nhân 2 về cho a)
\(=\left(a-1\right)^2>0\)( luôn đúng với mọi a khác 0)
chúc bn học tốt.