Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Nối \(A,M.\) Vì \(AH\perp BC,MD\perp AC\to A,H,M,D\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AM\). Suy ra \(\angle MDH=\angle MAH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung). Do \(B,M\) đối xứng nhau qua điểm \(H\) nên
\(\angle MAH=\angle BAH\to\angle MAH=\angle ACB\to\angle MDH=\angle ACB.\)
Do \(O\) là trung điểm \(MC\), nên áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông \(MCD\), ta được \(\Delta OCD\) cân, suy ra \(\angle ODC=\angle OCD\to\angle ODC=\angle MDH.\) Mà \(\angle ODC+\angle ODM=90^{\circ}\to\angle ODH=90^{\circ}.\) Vậy tam giác \(HDO\) vuông ở \(D.\)
b) Kẻ đường cao \(DK\) của tam giác \(HDO,K\in BC.\) Ta có \(OH=OM+HM=\frac{1}{2}BM+\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}BC.\) Do đó diện tích tam giác \(HDO\) lớn nhất khi và chỉ khi \(DK\) lớn nhất. Gọi \(J\) là trung điểm của \(OH\to DK\le DJ=\frac{1}{2}OH=\frac{1}{4}BC.\) Vậy \(DK\) lớn nhất khi \(K\equiv J\Leftrightarrow\Delta HDO\) vuông cân ở \(D.\) Khi đó \(\angle MAC=45^{\circ}\) (Vì bằng \(\angle DHC,\) góc nội tiếp cùng chắn 1 cung). Suy ra
\(\angle BAM=45^{\circ}\to\angle ABC=67,5^{\circ}\to\angle ACB=22,5^{\circ}.\)
Lấy \(I\) là trung điểm \(BC\to AI=\frac{1}{2}BC=a,\angle AIB=2\angle ACB=45^{\circ}.\) Suy ra \(AH=AI\cdot\sin\angle AIB=a\cdot\sin45^{\circ}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
Vậy để diện tích \(HDO\) lớn nhất thì \(AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
a) tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
tam giác AHC vuông tại H có đường cao HF nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AF.AC=AH^2=AE.AB\)
b) \(AE.AB=AF.AC\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\\\angle BACchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)
c) Ta có: \(AH^4=AH^2.AH^2=AE.AB.AF.AC\)
tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)
\(\Rightarrow AH^4=AE.AF.BC.AH\Rightarrow AH^3=AE.AF.BC\)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
b) Ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
nên \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAFE vuông tại A và ΔABC vuông tại A có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)
Do đó: ΔAFE\(\sim\)ΔABC(c-g-c)
Gọi G là trung điểm AH, I là trung điểm EF, MN là đtb tg ABC
Dễ thấy NG//BC;MG//BC nên M,N,G thẳng hàng
Xét tg AEF và tg HEF có AI;HI là trung tuyến ứng vs ch EF nên \(AI=HI=\dfrac{1}{2}EF\)
Do đó tg AIH cân tại I
Mà IG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên IG là đg cao hay \(IG\perp AH\left(1\right)\)
Xét tg AHB vuông tại H có HM là trung tuyến ứng ch AB nên \(AM=HM=\dfrac{1}{2}AB\)
Do đó tg AHM cân tại M
Mà MG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên MG là đg cao hay \(MG\perp AH\left(1\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow MG//GI\)
Từ đó ta được M;G;I thẳng hàng
Do đó I;M;N thẳng hàng
Vậy trung điểm EF là I nằm trên đt cố định là đường trung bình MN của tg ABC
a: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔCHA vuông tại H có
\(\widehat{EHB}=\widehat{HCA}\)
Do đó: ΔHEB\(\sim\)ΔCHA
Suy ra: \(\dfrac{HE}{CH}=\dfrac{BH}{AC}\left(1\right)\)
Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=\widehat{FAE}=90^0\)
Do đó: AEHF là hình chữ nhật
Suy ra: HE=AF(2)
từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AF}{CH}=\dfrac{BH}{AC}\)
a) Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
nên \(AH^2=AE\cdot AB\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)(1)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh AC(gt)
nên \(AF\cdot AC=AH^2\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)(đpcm)
b) Ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)(cmt)
\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)(cmt)
Do đó: ΔAEF∼ΔACB(c-g-c)
⇒\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)(3)
Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}\)(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(CM=\frac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)
nên AM=CM
Xét ΔAMC có AM=CM(cmt)
nên ΔAMC cân tại M(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{C}=\widehat{MAC}\)(hai góc ở đáy)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{MAC}\)
Xét ΔAFE vuông tại A có \(\widehat{AFE}+\widehat{AEF}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
mà \(\widehat{AEF}=\widehat{MAC}\)(cmt)
nên \(\widehat{AFE}+\widehat{MAC}=90^0\)
hay \(\widehat{AFI}+\widehat{IAF}=90^0\)
Xét ΔAIF có \(\widehat{AFI}+\widehat{IAF}=90^0\)(cmt)
nên ΔAIF vuông tại I(định lí đảo của tam giác vuông)
⇒IA⊥IF
hay AM⊥EF(đpcm)