Question

[Nguyễn Lâm Gia Hân]

a ) Cho S = 1-3+3²-3³+3⁴-3⁵+...+3⁹⁸-3⁹⁹ . Tính S từ đó suy ra 3¹⁰⁰ chia 4 dư 1 .

b) Viết liên tiếp các số 1,2,3,...,99 ta được một số rất lớn :

A = 1234567891112...979899 .Hãy chứng tỏ A chia hết cho 9 .

Answer 1

[Xyz OLM]

Ta có : S = 1 - 3 + 3² - 3³ + 3⁴ - 3⁵ +...+ 3⁹⁸ - 3⁹⁹ 

      => 3S = 3 - 3² + 3³ - 3⁴ + 3⁵ - 3⁶ +...+ 3⁹⁹ - 3¹⁰⁰ 

Lấy 3S + S = (3 - 3² + 3³ - 3⁴ + 3⁵ - 3⁶ +...+ 3⁹⁹ - 3¹⁰⁰ ) + ( 1 - 3 + 3² - 3³ + 3⁴ - 3⁵ +...+ 3⁹⁸ - 3⁹⁹ )

          4S    = 3¹⁰⁰ + 1

=> \(S=\frac{3^{100}+1}{4}\Leftrightarrow3^{100}+1⋮4\) (vì sở dĩ tổng S là số nguyên) 

=> 3¹⁰⁰ : 4 dư 1